Πολύπλοκο μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12455
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πολύπλοκο μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm

Πολύπλοκο  μέσο.png
Πολύπλοκο μέσο.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημείο S της AB και σημείο T της προέκτασης της BC ,

ώστε : TD \perp DS . Από το B , φέρω παράλληλη προς την SD , η οποία τέμνει τον κύκλο

(D , C , T ) στα σημεία N , L . Οι ευθείες LD , DN τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης AB

στα σημεία P , Q . Δείξτε ότι το B είναι το μέσο του τμήματος PQ .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4100
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πολύπλοκο μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 06, 2021 11:15 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm
Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημείο S της AB και σημείο T της προέκτασης της BC ,

ώστε : TD \perp DS . Από το B , φέρω παράλληλη προς την SD , η οποία τέμνει τον κύκλο

(D , C , T ) στα σημεία N , L . Οι ευθείες LD , DN τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης AB

στα σημεία P , Q . Δείξτε ότι το B είναι το μέσο του τμήματος PQ .
Τα σημεία L,T,B,P είναι ομοκυκλικά ( δυο απέναντι ορθές γωνιές ) , άρα <PLB=<PTB:(1)

Ομοίως T,N,B,C ομοκυκλικά (τα N,B "Βλέπουν " την TQ υπό ορθές γωνιές , άρα <BTQ=<BNQ:(2)

Η SD είναι εφαπτόμενη του πρασίνου κύκλου και συνεπώς <BNQ=<SDN (λόγω παραλληλίας) =<DLN=<PLB:(3)

Από (1),(2),(3) προκύπτει ότι <BTQ=<PTB και συνεπώς το τρίγωνο PTQ είναι ισοσκελες (TB ύψος και διχοτομος), αρα και διάμεσος και το ζητούμενο εχει αποδειχθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 830
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πολύπλοκο μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Απρ 07, 2021 12:25 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm
Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημείο S της AB και σημείο T της προέκτασης της BC ,

ώστε : TD \perp DS . Από το B , φέρω παράλληλη προς την SD , η οποία τέμνει τον κύκλο

(D , C , T ) στα σημεία N , L . Οι ευθείες LD , DN τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης AB

στα σημεία P , Q . Δείξτε ότι το B είναι το μέσο του τμήματος PQ .
:oops: Λανθασμένη λύση, ευχαριστώ τον κύριο Θανάση για την ενημέρωση
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τετ Απρ 07, 2021 11:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2023
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πολύπλοκο μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Απρ 07, 2021 10:40 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm
Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημείο S της AB και σημείο T της προέκτασης της BC ,

ώστε : TD \perp DS . Από το B , φέρω παράλληλη προς την SD , η οποία τέμνει τον κύκλο

(D , C , T ) στα σημεία N , L . Οι ευθείες LD , DN τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης AB

στα σημεία P , Q . Δείξτε ότι το B είναι το μέσο του τμήματος PQ .
LTBP,TNBQ εγγράψιμμα ,οπότε  \angle  L_{1}= \angle P_{1} και  \angle TQB= \angle  N_{1}

TD \bot DS \Rightarrow TD \bot LN κι επειδή DT διάμετρος,θα είναι μεσοκάθετη της  LN\Rightarrow  \angle L_{1} = \angle  N_{1}

Άρα  \angle P_{1} = \angle  TQP \Rightarrow PB=BQ
Πολύπλοκο μέσο.png
Πολύπλοκο μέσο.png (34.24 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2023
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πολύπλοκο μέσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Απρ 07, 2021 11:03 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm
Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο ABCD , θεωρούμε σημείο S της AB και σημείο T της προέκτασης της BC ,

ώστε : TD \perp DS . Από το B , φέρω παράλληλη προς την SD , η οποία τέμνει τον κύκλο

(D , C , T ) στα σημεία N , L . Οι ευθείες LD , DN τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης AB

στα σημεία P , Q . Δείξτε ότι το B είναι το μέσο του τμήματος PQ .
Αλλιώς

LTBP,TNBQ εγγράψιμμα ,οπότε   \angle  Q_{1}= \angle B_{1}=\angle P_{1

TD \bot DS \Rightarrow TD \bot LN κι επειδή DT διάμετρος,θα είναι μεσοκάθετη της  LN\Rightarrow TL = TN

Άρα \triangle LTP= \triangle TNQ \Rightarrow PL=NQ

Ισχύει, \dfrac{QB}{BS} = \dfrac{QN}{ND} = \dfrac{LP}{LD} = \dfrac{BP}{BS} \Rightarrow QB=BP
Πολύπλοκο μέσο.png
Πολύπλοκο μέσο.png (38.54 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες