Εξαιρετική παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξαιρετική παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 04, 2021 8:13 am

Εξαιρετική  παραλληλία.png
Εξαιρετική παραλληλία.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές
Σε τρίγωνο ABC με AB<AC , η κάθετη προς την διχοτόμο AE στο A , τέμνει την μεσοκάθετο

της BC στο σημείο S . Ο κύκλος διαμέτρου AS τέμνει την AC στο I . Δείξτε ότι : IM \parallel AE .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εξαιρετική παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 04, 2021 8:55 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 04, 2021 8:13 am
Εξαιρετική παραλληλία.pngΣε τρίγωνο ABC με AB<AC , η κάθετη προς την διχοτόμο AE στο A , τέμνει την μεσοκάθετο

της BC στο σημείο S . Ο κύκλος διαμέτρου AS τέμνει την AC στο I . Δείξτε ότι : IM \parallel AE .
Αν N είναι το σημείο τομής των AE,SM τότε προφανώς A,B,N,C,S ομοκυκλικά (AS,AN εξωτερική - εσωτερική διχοτόμος του τριγώνου ABC
Με S,I,M,C πμοκυκλικά ( τα I,M "βλέπουν " την SC υπό ορθές γωνιές θα είναι : <MIC=<MSC=<NSC=<NAC=<EAC όποτε IM//AE και το ζητούμενο εχει αποδειχθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξαιρετική παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 04, 2021 9:19 pm

Εξαιρετική  παραλληλία.png
Εξαιρετική παραλληλία.png (25.37 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εξαιρετική παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 04, 2021 9:29 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 04, 2021 9:19 pm
Εξαιρετική παραλληλία.png
Θανάση ευχαριστώ θερμά ! εκτός των άλλων και για το σχήμα


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εξαιρετική παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 04, 2021 11:54 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 04, 2021 8:13 am
Εξαιρετική παραλληλία.pngΣε τρίγωνο ABC με AB<AC , η κάθετη προς την διχοτόμο AE στο A , τέμνει την μεσοκάθετο

της BC στο σημείο S . Ο κύκλος διαμέτρου AS τέμνει την AC στο I . Δείξτε ότι : IM \parallel AE .
Ο κύκλος τέμνει την BA στο Q

Η AS είναι διχοτόμος της \angle A_{ \varepsilon  \xi } κι επειδή SI \bot AI,SQ \bot AQ \Rightarrow QS=SI

Ακόμη, BS=SC άρα \triangle QSB= \triangle SIC \Rightarrow  \angle ISC= \angle QSB

οπότε \angle QSI= \ angle BSC=\angle A \Rightarrow  \dfrac{A}{2}= \angle MIC (αφού SIMC είναι εγγράψιμμο),άρα AE//IM
Παράλληλη.png
Παράλληλη.png (28.7 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εξαιρετική παραλληλία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 05, 2021 4:47 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 04, 2021 8:13 am
Εξαιρετική παραλληλία.pngΣε τρίγωνο ABC με AB<AC , η κάθετη προς την διχοτόμο AE στο A , τέμνει την μεσοκάθετο

της BC στο σημείο S . Ο κύκλος διαμέτρου AS τέμνει την AC στο I . Δείξτε ότι : IM \parallel AE .
Άλλη μια λύση

Οι προεκτάσεις των BA,CA τέμνουν τον κύκλο S,SC στα L,K αντίστοιχα

Η AS είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας A άρα SQ=SI επομένως BL=KC και LKBC ισοσκελές τραπέζιο

Άρα   \triangle KAB ισοσκελές με \angle AKB= \angle  \dfrac{A}{2}= \angle MIC \Rightarrow AE//IM

(Είναι MI//KB αφού I μέσον της KC)
Παράλληλη.png
Παράλληλη.png (35.76 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης