Τριχοτομεί τη διάμεσο

#1

: Τριχοτομεί τη διάμεσο.png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Ο έγκυκλος τριγώνου ABC

με

τριχοτομεί τη διάμεσο AM.

Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Έστω

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές BC,BA

αντίστοιχα.

$\displaystyle MP^{2}=ME\cdot MD\Rightarrow MP^{2}=\frac{1}{3}m_{a}\frac{2}{3}m_{a}\Rightarrow MP^{2}=\frac{2}{9}m^{2}_{a}$

$\displaystyle AQ^{2}=AD\cdot AE\Rightarrow AQ^{2}=\frac{1}{3}m_{a}\frac{2}{3}m_{a}\Rightarrow AQ^{2}=\frac{2}{9}m^{2}_{a}$

Συνεπώς ισχύει ότι

$MP^{2}=AQ^{2}\Rightarrow MP=AQ\Rightarrow BM-BP=AQ\Rightarrow$

$5-(s-b)=s-a\Rightarrow 5+b+a=2s\Rightarrow 5+b+a=a+b+c\Rightarrow c=5$

Το να βρεθεί η πλευρά

είναι πλέον εύκολο...

$\displaystyle AQ^{2}=\frac{2}{9}m^{2}_{a}\Rightarrow \left ( s-a \right )^{2}=\frac{2}{9}\cdot \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow \left ( \frac{b+c-a}{2} \right )^{2}=\frac{2}{9}\cdot \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$

Aν στην τελευταία αντικαταστήσω όπου a=10, c=5

, κάνω πράξεις και απλοποιήσεις, καταλήγω στην εξίσωση

$b^{2}-18b+65=0$ η οποία δίνει b=13

ή

Η τιμή

δεν μπορεί να γίνει δεκτή γιατί οδηγεί σε a=10,b=5,c=5

, κάτι τέτοιο όμως αντίκειται στην τριγωνική ανισότητα, δεν γίνεται να υπάρξει τρίγωνο με αυτά τα μήκη πλευρών.

Η b=13

γίνεται δεκτή, όλα πάνε καλά με αυτήν...

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 10, 2021 11:15 am
Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές αντίστοιχα.

$\displaystyle MP^{2}=ME\cdot MD\Rightarrow MP^{2}=\frac{1}{3}m_{a}\frac{2}{3}m_{a}\Rightarrow MP^{2}=\frac{2}{9}m^{2}_{a}$

$\displaystyle AQ^{2}=AD\cdot AE\Rightarrow AQ^{2}=\frac{1}{3}m_{a}\frac{2}{3}m_{a}\Rightarrow AQ^{2}=\frac{2}{9}m^{2}_{a}$

Συνεπώς ισχύει ότι

$MP^{2}=AQ^{2}\Rightarrow MP=AQ\Rightarrow BM-BP=AQ\Rightarrow$

$5-(s-b)=s-a\Rightarrow 5+b+a=2s\Rightarrow 5+b+a=a+b+c\Rightarrow c=5$

Το να βρεθεί η πλευρά είναι πλέον εύκολο...

$\displaystyle AQ^{2}=\frac{2}{9}m^{2}_{a}\Rightarrow \left ( s-a \right )^{2}=\frac{2}{9}\cdot \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow \left ( \frac{b+c-a}{2} \right )^{2}=\frac{2}{9}\cdot \frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$

Aν στην τελευταία αντικαταστήσω όπου , κάνω πράξεις και απλοποιήσεις, καταλήγω στην εξίσωση

$b^{2}-18b+65=0$ η οποία δίνει ή

Η τιμή δεν μπορεί να γίνει δεκτή γιατί οδηγεί σε , κάτι τέτοιο όμως αντίκειται στην τριγωνική ανισότητα, δεν γίνεται να υπάρξει τρίγωνο με αυτά τα μήκη πλευρών.

Η γίνεται δεκτή, όλα πάνε καλά με αυτήν...

Δίνω το σχήμα στην ωραία λύση του Τηλέμαχου.

: Τριχοτομεί τη διάμεσο.β.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 7:47 pm
Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου με τριχοτομεί τη διάμεσο Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Καλησπέρα

Βρίσκω δυο λύσεις τα τρίγωνα (a,b,c)=(10,13,5),(10,5,13)

Θα γράψω αυριο τη λύση ......ειναι αργά

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

STOPJOHN έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 11, 2021 12:10 am

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 7:47 pm
Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου με τριχοτομεί τη διάμεσο Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Καλησπέρα

Βρίσκω δυο λύσεις τα τρίγωνα

Θα γράψω αυριο τη λύση ......ειναι αργά

Aν στο σχήμα που έδωσε ο Γιώργος προτείνοντας το θέμα εναλλάξουμε τις θέσεις των B,C

προκύπτει η (a,b,c)=(10,5,13)

.

STOPJOHN · #6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 11, 2021 10:53 am

STOPJOHN έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 11, 2021 12:10 am

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 7:47 pm
Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου με τριχοτομεί τη διάμεσο Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Καλησπέρα

Βρίσκω δυο λύσεις τα τρίγωνα

Θα γράψω αυριο τη λύση ......ειναι αργά
Aν στο σχήμα που έδωσε ο Γιώργος προτείνοντας το θέμα εναλλάξουμε τις θέσεις των προκύπτει η .

Καλημέρα το πρόβλημα είναι απο την λύση του θέματος να καταλήξουμε σε δυο τρίγωνα .Δεν κατανοώ την ενναλαγή των γραμμάτων ;;; πως δικαιολογείται ;;;

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Όταν έλυνα το θέμα είχα μπροστά μου το σχήμα του Γιώργου.
Μοιραία η σκέψη μου παρασύρθηκε από αυτό και κατέληξα στη λύση που είδατε.
Αν ο Γιώργος είχε βάλει τα B,C

ανάποδα θα κατέληγα στην (a,b,c)=(10,5,13).

Θα χαρώ να δω μια αντιμετώπιση του θέματος που καταλήγει και στις δύο λύσεις.

STOPJOHN · #8

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 7:47 pm
Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου με τριχοτομεί τη διάμεσο Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Για την ημιπερίμετρο του τριγώνου $ABC,\tau =\dfrac{b+c}{2}+5\Rightarrow \tau -a=\dfrac{b+c}{2}-5=AQ=AL$

$PM=\tau -c-5=\dfrac{b-c}{2},$
Από το θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $ABC,b^{2}+c^{2}=2m_{a}^{2}+\dfrac{a^{2}}{2},AQ^{2}=\dfrac{2m_{a}^{2}}{9}\Rightarrow \dfrac{b+c}{2}-5=\dfrac{\sqrt{2}m_{a}}{3}$
Οπότε $b^{2}+c^{2}=2[\dfrac{3}{\sqrt{2}}(\dfrac{b+c}{2}-5)]^{2}+50,(3),$

Tα τρίγωνα IAE,IDM

είναι ίσα $(\Pi -\Gamma -\Pi )$ Αρα AI=IM

$IM^{2}=r^{2}+\dfrac{(b-c)^{2}}{4},(1), IA^{2}=r^{2}+(\dfrac{b+c}{2}-5)^{2},(2)$

Αρα $\dfrac{b-c}{2}=\dfrac{b+c}{2}-5,(*)$ η $\dfrac{b-c}{2}=-\dfrac{b+c}{2}+5,(**)$

$(*)\Rightarrow c=5$ και λόγω της $(3)\Rightarrow 0=b^{2}-18b+65\Leftrightarrow b=13,b=5$
Προφανώς η τιμή b=5

απορρίπτεται γιατί δεν ισχύςι η τριγωνική ανισότητα

$(**)\Rightarrow b=5, (3)\Rightarrow c^{2}-18c+65=0\Leftrightarrow c=13,c=5$

οπότε η τιμή c=13

είναι δεκτή

Τελικά εχουμε δυο τρίγωνα (a,b,c)=(10,5,13),(10,13,5)

#9

Ας είναι

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές BC,CA,AB

αντίστοιχα.

Θέτω: $AD,DE,EM = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AL = AH = u$ . Αν

ημιπερίμετρος του $\vartriangle ABC$ θα είναι u = s - a

και

Το

είναι το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

Επειδή $M{Z^2} = ME \cdot MD = AD \cdot AE = A{H^2} = \boxed{2{k^2} = {u^2}}\,\,\left( 1 \right)$ , θα είναι και MZ = u

.

Αλλά $BH = BZ \Rightarrow \boxed{BA = BM = 5}\,$ , αφου δόθηκε $\boxed{BC = a = 10}$ .

: Τριχοτομεί τη διάμεσο.png (19.71 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Από το Θ. Leibnitz

για κάθε σημείο

ισχύει:

$3\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} \right) = 9M{E^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}$ και άρα :

$3\left( {{{\left( {3k} \right)}^2} + 50} \right) = 9{k^2} + 125 + {b^2}$ . Λόγω της $\left( 1 \right)$ και αφού b = 2s - 15

προκύπτει:

${s^2} - 24s + 140 = 0 \Rightarrow s = 14\,\,,\,\,s = 10$ . Δεκτή η τιμή s = 14

άρα $\displaystyle \boxed{b = 13}$

Η άσκηση υπάρχει και στο βιβλίο του Δ. Γ. Κοντογιάννη

« Μαθηματικές Ολυμπιάδες» σελίδα 185.

#10

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Ας δούμε και κάτι παρόμοιο.

Θέτω AD=DE=EM=x

και είναι:

: Τριχοτομεί τη διάμεσο.γ.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

$\displaystyle A{Q^2} = AD \cdot AE = 2{x^2} = ME \cdot MD = M{P^2} \Leftrightarrow AQ = MP = x\sqrt 2$ κι επειδή BQ=BP,

θα είναι $\boxed{AB=BM=5}$ Με θεώρημα διαμέσων τώρα στο ABC

έχω:

$\displaystyle 25 + {\left( {2x\sqrt 2 + 5} \right)^2} = 18{x^2} + 50 \Leftrightarrow$ $x=2\sqrt 2$ και $\boxed{AC=2x\sqrt 2+5=13}$

Η άσκηση αυτή είναι παραλλαγή στο θέμα $\rm P.15$ του διαγωνισμού $\rm USA,$ $\rm AIME-$ $\rm 2005$ $\rm I.$