Ορθόκεντρο από γωνίες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθόκεντρο από γωνίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 25, 2021 7:50 am

Ορθόκεντρο  από γωνίες.png
Ορθόκεντρο από γωνίες.png (7.17 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι γνωστό ότι : \tan B=\dfrac{8}{3} και \tan C=\dfrac{4}{5} . Να προσδιοριστεί το ορθόκεντρο H

του τριγώνου . Προτεινόμενος τρόπος : Σχεδιάστε το ύψος AD και εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AH}{HD}

Αν η λύση σας είναι διαφορετική , μην παραλείψετε τον υπολογισμό του ζητούμενου λόγου .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθόκεντρο από γωνίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 25, 2021 9:21 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:50 am
Ορθόκεντρο από γωνίες.pngΣτο τρίγωνο ABC είναι γνωστό ότι : \tan B=\dfrac{8}{3} και \tan C=\dfrac{4}{5} . Να προσδιοριστεί το ορθόκεντρο H

του τριγώνου . Προτεινόμενος τρόπος : Σχεδιάστε το ύψος AD και εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AH}{HD}

Αν η λύση σας είναι διαφορετική , μην παραλείψετε τον υπολογισμό του ζητούμενου λόγου .
Φέρνουμe το ύψος BE (που διέρχεται και άρα προσδιορίζει το H), οπότε \angle CBE = 90 -C. Έχουμε τότε

\displaystyle{ HD = BD \tan (\angle CBE) = \dfrac {BD} {\tan C} = \dfrac {AD}{\tan B \tan C} = \dfrac {AD}{\frac {8}{3}\cdot  \frac {4}{5} }  = \dfrac {15}{32}AD}

Άρα και \displaystyle{ AH = \dfrac {17}{32}AD}, οπότε ο ζητούμενος λόγος είναι \displaystyle{ \dfrac {17}{15}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο από γωνίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 25, 2021 12:26 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:50 am
Ορθόκεντρο από γωνίες.pngΣτο τρίγωνο ABC είναι γνωστό ότι : \tan B=\dfrac{8}{3} και \tan C=\dfrac{4}{5} . Να προσδιοριστεί το ορθόκεντρο H

του τριγώνου . Προτεινόμενος τρόπος : Σχεδιάστε το ύψος AD και εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AH}{HD}

Αν η λύση σας είναι διαφορετική , μην παραλείψετε τον υπολογισμό του ζητούμενου λόγου .
Παρόμοιο.

Επειδή \displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{8}{3},\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{8}{{10}}, αν θέσω BD=3k τότε θα είναι DC=10k, AD=8k.
Ορθόκεντρο από γωνίες.png
Ορθόκεντρο από γωνίες.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
\displaystyle \tan \theta  = \tan C \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{HD}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow HD = \frac{{15k}}{4} \Rightarrow \boxed{\frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{AD - HD}}{{HD}} = \frac{{17}}{{15}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθόκεντρο από γωνίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 25, 2021 1:30 pm

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, άρα \displaystyle AD = 2R\sin B\sin C και \displaystyle AH = 2R\cos A

\displaystyle \frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{AH}}{{AD - AH}} =  - \frac{{2R\cos (B + C)}}{{2R\sin B\sin C + 2R\cos (B + C)}} =

\displaystyle  - \frac{{\cos (B + C)}}{{\cos B\cos C}} = \tan B\tan C - 1 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{17}}{{15}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης