Όμορφη παραλληλία

KARKAR · #1

: Όμορφη παραλληλία.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Ο έγκυκλος του τριγώνου ABC

εφάπτεται των πλευρών AB , AC

, του τριγώνου ABC

,

στα σημεία E , D

αντίστοιχα . Η ευθεία

και η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνονται στο

.

Αν το σημείο

είναι το μέσο της

, δείξτε ότι : $SM \parallel AB$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 11, 2021 7:16 pm
Όμορφη παραλληλία.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών , του τριγώνου ,

στα σημεία αντίστοιχα . Η ευθεία και η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνονται στο .

Αν το σημείο είναι το μέσο της , δείξτε ότι : $SM \parallel AB$ .

Επειδή $\angle \theta = \angle \dfrac{B+C}{2}$ και $\angle SBE= \dfrac{B}{2} \Rightarrow \angle ESB= \angle \dfrac{C}{2}$ άρα SDIC

εγγράψιμμο ,συνεπώς $BS \bot CS$

Έτσι, $\angle BSM= \dfrac{B}{2} \Rightarrow SM//AB$

: Όμορφη παραλληλία.png (87.37 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 11, 2021 7:16 pm
Όμορφη παραλληλία.pngΟ έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών , του τριγώνου ,

στα σημεία αντίστοιχα . Η ευθεία και η διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$ τέμνονται στο .

Αν το σημείο είναι το μέσο της , δείξτε ότι : $SM \parallel AB$ .

Παρόμοιο. Έστω

το σημείο επαφής του έγκυκλου με την BC.

Αρκεί να δείξω ότι $B\widehat SC=90^\circ.$

: Όμορφη παραλληλία.Κ.png (22.58 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Η

είναι μεσοκάθετη του EF,

άρα $\displaystyle E\widehat FS = F\widehat ES = 180^\circ - A\widehat IB = 90^\circ - \frac{{\widehat C}}{2}$

Δηλαδή, $\displaystyle B\widehat SF = \frac{{\widehat C}}{2},$ οπότε το IFCS

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

#4

Μια από τα ίδια ίσως .

: Ομορφη παραλληλία.png (27.91 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Επειδή $\widehat {BIC} = 90^\circ + \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \widehat {{\omega _2}} = 90^\circ - \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _1}} = \widehat \omega$ , άρα τα σημεία : D,I,C,S

είναι ομοκυκλικά και συνεπώς το $\vartriangle SBC$ είναι ορθογώνιο .

Η διάμεσος $SM = \dfrac{1}{2}BC = MB \Rightarrow \widehat {BSM} = \widehat {MBS} = \widehat {SBA} \Rightarrow AB//SM$

Όμορφη παραλληλία

Όμορφη παραλληλία

Re: Όμορφη παραλληλία

Re: Όμορφη παραλληλία

Re: Όμορφη παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση