Τα καλά της επαφής

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τα καλά της επαφής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 09, 2021 7:45 pm

Τα  καλά  της  επαφής.png
Τα καλά της επαφής.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Τα σημεία A , B , C είναι συνευθειακά και το τμήμα ST είναι το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα

των ημικυκλίων , διαμέτρων AB=2R , BC=2r . Οι AP , CT τέμνονται στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία A , P , T , C είναι ομοκυκλικά .

β) Δείξτε ότι η γωνία \hat{S} είναι ορθή . γ) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{(SAC)}{(SPT)} .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τα καλά της επαφής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 09, 2021 9:39 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 09, 2021 7:45 pm
Τα καλά της επαφής.pngΤα σημεία A , B , C είναι συνευθειακά και το τμήμα ST είναι το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα

των ημικυκλίων , διαμέτρων AB=2R , BC=2r . Οι AP , CT τέμνονται στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία A , P , T , C είναι ομοκυκλικά .

β) Δείξτε ότι η γωνία \hat{S} είναι ορθή . γ) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{(SAC)}{(SPT)} .

Η κόκκινη γωνία συν την μλε κάνουν  \dfrac{ \theta + \omega }{2} =90^0 και το SPBT είναι ορθογώνιο άρα

 \angle TPS=C \Rightarrow P,T,C,A  ομοκυκλικά

Είναι γνωστό ότι PT= 2 \sqrt{Rr} .Επειδή  \triangle SAC\simeq  \triangle SPT \Rightarrow  \dfrac{(SAC)}{(SPT)}= (\dfrac{AC}{PT})^2= \dfrac{(R+r)^2}{Rr}
τα καλά της επαφής.png
τα καλά της επαφής.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τα καλά της επαφής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μαρ 10, 2021 10:41 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 09, 2021 7:45 pm
Τα καλά της επαφής.pngΤα σημεία A , B , C είναι συνευθειακά και το τμήμα ST είναι το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα

των ημικυκλίων , διαμέτρων AB=2R , BC=2r . Οι AP , CT τέμνονται στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι τα σημεία A , P , T , C είναι ομοκυκλικά .

β) Δείξτε ότι η γωνία \hat{S} είναι ορθή . γ) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{(SAC)}{(SPT)} .
α),β) Το BPST είναι ορθογώνιο (τρεις γωνίες του είναι ορθές). Επειδή η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των ημικυκλίων

διέρχεται από το μέσο του PT θα διέρχεται και από το S. Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το APTC εγγράψιμο.
Τα καλά της επαφής.png
Τα καλά της επαφής.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές
γ) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
BP||SC \Leftrightarrow \dfrac{{SC}}{{ST}} = \dfrac{{SC}}{{BP}} = \dfrac{{R + r}}{R}\\ 
\\ 
BT||SA \Leftrightarrow \dfrac{{SA}}{{SP}} = \dfrac{{SA}}{{BT}} = \dfrac{{R + r}}{r} 
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{SA \cdot SC}}{{SP \cdot ST}} = \dfrac{{{{(R + r)}^2}}}{{Rr}} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{(SAC)}{(SPT)}=\dfrac{(R+r)^2}{Rr}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης