Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ισόπλευρο και ημικύκλιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 09, 2021 10:28 am

Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και το ημικύκλιο διαμέτρου AC έξω από το τρίγωνο. Με τα σημεία P, Q

τριχοτομούμε το ημικύκλιο και ονομάζουμε P\widehat BQ=\theta. Οι BP, BQ τέμνουν την πλευρά AC στα M, N.

α) Να εξετάσετε αν τα σημεία M, N τριχοτομούν την πλευρά AC ........... β) Να υπολογίσετε το \displaystyle \cos \theta.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 09, 2021 12:36 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 09, 2021 10:28 am
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και το ημικύκλιο διαμέτρου AC έξω από το τρίγωνο. Με τα σημεία P, Q

τριχοτομούμε το ημικύκλιο και ονομάζουμε P\widehat BQ=\theta. Οι BP, BQ τέμνουν την πλευρά AC στα M, N.

α) Να εξετάσετε αν τα σημεία M, N τριχοτομούν την πλευρά AC ........... β) Να υπολογίσετε το \displaystyle \cos \theta.
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
Ας είναι a η πλευρά του ισοπλεύρου, \vartriangle ABC. Το τετράπλευρο ACQP είναι κανονικό ημιεξάγωνο

δηλαδή ισοσκελές τραπέζιο με \boxed{AC = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQ = QP = PA = \dfrac{a}{2}}.

Η ευθεία PQ τέμνει τις BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S. Τα \vartriangle TAF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle QCS είναι κι αυτά ισόπλευρα πλευράς \boxed{l = \dfrac{a}{2}}.

α)Από το Θ. κεντρικής δέσμης \left( {B.\,AS,AQ,AP,AT\,} \right) έχω AM = MN = NC.

β) Η πλευρά του ισοπλεύρου \vartriangle TBS είναι : \boxed{k = \frac{{3a}}{2}} και το απόστημα : \boxed{d = \frac{{k\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{4}}

Υπολογίζω πρώτα , \boxed{\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \tan \theta  = \frac{{3\sqrt 3 }}{{13}}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 09, 2021 7:16 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 09, 2021 10:28 am
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και το ημικύκλιο διαμέτρου AC έξω από το τρίγωνο. Με τα σημεία P, Q

τριχοτομούμε το ημικύκλιο και ονομάζουμε P\widehat BQ=\theta. Οι BP, BQ τέμνουν την πλευρά AC στα M, N.

α) Να εξετάσετε αν τα σημεία M, N τριχοτομούν την πλευρά AC ........... β) Να υπολογίσετε το \displaystyle \cos \theta.
AP//BC\Rightarrow  \dfrac{AM}{MC}=  \dfrac{AP}{BC}= \dfrac{1}{2} και ομοίως  \dfrac{QC}{AB}= \dfrac{NC}{NA} = \dfrac{1}{2} .Άρα, NC=AM= \dfrac{a}{3} \Rightarrow MN= \dfrac{a}{3}

Ο ν.συνημιτόνου στο \triangle BAP δίνει BP= \dfrac{a \sqrt{7} }{2}=BQ κι έπειτα στο \triangle PBQ δίνει cos \theta = \dfrac{13}{14}
ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
ισόπλευρο και ημικύκλιο.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 11, 2021 11:32 am

Αφού ευχαριστήσω τους φίλους Νίκο και Μιχάλη για τις απαντήσεις τους, να θέσω και άλλο ένα ανεξάρτητο ερώτημα.
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.β.png
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.β.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές
Αν 2a είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου που

εφάπτεται στις πλευρές AB, BC και εσωτερικά στο ημικύκλιο διαμέτρου AC.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 11, 2021 12:47 pm

κύκλος  Γεωργίου.png
κύκλος Γεωργίου.png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Είναι : BM={a(1+\sqrt{3})}=3r , δηλαδή : r=\dfrac{a(1+\sqrt{3})}{3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες