Ισόπλευρο και ημικύκλιο

#1

: Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και το ημικύκλιο διαμέτρου

έξω από το τρίγωνο. Με τα σημεία P, Q

τριχοτομούμε το ημικύκλιο και ονομάζουμε $P\widehat BQ=\theta.$ Οι BP, BQ

τέμνουν την πλευρά

στα

α) Να εξετάσετε αν τα σημεία M, N

τριχοτομούν την πλευρά

........... β) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \cos \theta.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 09, 2021 10:28 am
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και το ημικύκλιο διαμέτρου έξω από το τρίγωνο. Με τα σημεία

τριχοτομούμε το ημικύκλιο και ονομάζουμε $P\widehat BQ=\theta.$ Οι τέμνουν την πλευρά στα

α) Να εξετάσετε αν τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά ........... β) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \cos \theta.$

: Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Ας είναι

η πλευρά του ισοπλεύρου, $\vartriangle ABC$ . Το τετράπλευρο ACQP

είναι κανονικό ημιεξάγωνο

δηλαδή ισοσκελές τραπέζιο με $\boxed{AC = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CQ = QP = PA = \dfrac{a}{2}}$ .

Η ευθεία

τέμνει τις $BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ . Τα $\vartriangle TAF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle QCS$ είναι κι αυτά ισόπλευρα πλευράς $\boxed{l = \dfrac{a}{2}}$ .

α)Από το Θ. κεντρικής δέσμης $\left( {B.\,AS,AQ,AP,AT\,} \right)$ έχω AM = MN = NC

.

β) Η πλευρά του ισοπλεύρου $\vartriangle TBS$ είναι : $\boxed{k = \frac{{3a}}{2}}$ και το απόστημα : $\boxed{d = \frac{{k\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{4}}$

Υπολογίζω πρώτα , $\boxed{\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \tan \theta = \frac{{3\sqrt 3 }}{{13}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 09, 2021 10:28 am
Ισόπλευρο και ημικύκλιο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο και το ημικύκλιο διαμέτρου έξω από το τρίγωνο. Με τα σημεία

τριχοτομούμε το ημικύκλιο και ονομάζουμε $P\widehat BQ=\theta.$ Οι τέμνουν την πλευρά στα

α) Να εξετάσετε αν τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά ........... β) Να υπολογίσετε το $\displaystyle \cos \theta.$

$AP//BC\Rightarrow \dfrac{AM}{MC}= \dfrac{AP}{BC}= \dfrac{1}{2}$ και ομοίως $\dfrac{QC}{AB}= \dfrac{NC}{NA} = \dfrac{1}{2}$ .Άρα, $NC=AM= \dfrac{a}{3} \Rightarrow MN= \dfrac{a}{3}$

Ο ν.συνημιτόνου στο $\triangle BAP$ δίνει $BP= \dfrac{a \sqrt{7} }{2}=BQ$ κι έπειτα στο $\triangle PBQ$ δίνει $cos \theta = \dfrac{13}{14}$

: ισόπλευρο και ημικύκλιο.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

#4

Αφού ευχαριστήσω τους φίλους Νίκο και Μιχάλη για τις απαντήσεις τους, να θέσω και άλλο ένα ανεξάρτητο ερώτημα.

: Ισόπλευρο και ημικύκλιο.β.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Αν

είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου που

εφάπτεται στις πλευρές AB, BC

και εσωτερικά στο ημικύκλιο διαμέτρου AC.

KARKAR · #5

: κύκλος Γεωργίου.png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Είναι : $BM={a(1+\sqrt{3})}=3r$ , δηλαδή : $r=\dfrac{a(1+\sqrt{3})}{3}$

Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Re: Ισόπλευρο και ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση