Κατασκευή και όχι μόνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή και όχι μόνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 07, 2021 8:56 pm

Κατασκευή και όχι μόνο.png
Κατασκευή και όχι μόνο.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

N είναι το μέσο ημικυκλίου κέντρου O και διαμέτρου 2R. Να εντοπίσετε (γεωμετρική κατασκευή) σημείο S του ημικυκλίου

ώστε αν η AS τέμνει την ON στο P και τη BN στο Q, να είναι \displaystyle \frac{{SQ}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την \displaystyle \tan \theta.

(Κατασκευή χωρίς απόδειξη δεν γίνεται αποδεκτή :no: )


Μπορείτε, αν θέλετε να προσθέσετε και δικά σας ερωτήματα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 09, 2021 1:34 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:56 pm
Κατασκευή και όχι μόνο.png
N είναι το μέσο ημικυκλίου κέντρου O και διαμέτρου 2R. Να εντοπίσετε (γεωμετρική κατασκευή) σημείο S του ημικυκλίου

ώστε αν η AS τέμνει την ON στο P και τη BN στο Q, να είναι \displaystyle \frac{{SQ}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την \displaystyle \tan \theta.

(Κατασκευή χωρίς απόδειξη δεν γίνεται αποδεκτή :no: )

Μπορείτε, αν θέλετε να προσθέσετε και δικά σας ερωτήματα.
Μια λύση είναι σχετικά απλή.
κατασκευή και όχι μόνο_a.png
κατασκευή και όχι μόνο_a.png (24.05 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Κατασκευή

Ας είναι R = 3m η ακτίνα του κύκλου . Θεωρώ σημείο P της ακτίνας ON με \boxed{OP = m} . Η OP τέμνει την NB στο Q και το ημικύκλιο στο S.

Ας είναι AP = 10k, τότε από Π. Θ. στο \vartriangle OPA,\,\,\,\boxed{10{k^2} = {m^2}}. Η κάθετη στο P επί την AP τέμνει την AN στο F.

Επειδή \widehat {PAN} = \widehat {SBQ} ( βαίνουν στο ίδιο τόξο ) και \widehat {ANO} = \widehat {ONB} = 45^\circ Τα τρίγωνα

PFA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SQB είναι όμοια και το τετράπλευρο NFPQ εγγράψιμο με PQ = PF.

Επειδή \omega  + \theta  = 45^\circ  \Rightarrow \tan \omega  = \dfrac{{1 - \dfrac{1}{3}}}{{1 + \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{PF = PQ = 5k}

Μα τότε κι αφού AP \cdot AS = AO \cdot AB \Rightarrow 10k\left( {10k + PS} \right) = 18{m^2} = 180{k^2} \Rightarrow PS = 8k \Rightarrow \boxed{QS = 3k}

Δηλαδή \boxed{\dfrac{{QS}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}} . Προφανώς \boxed{\tan \theta  = \dfrac{1}{3}}

Υπάρχει όμως και διαφορετικού αποτελέσματος λύση θα την γράψω αργότερα ή αύριο .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 09, 2021 2:31 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:56 pm
Κατασκευή και όχι μόνο.png
N είναι το μέσο ημικυκλίου κέντρου O και διαμέτρου 2R. Να εντοπίσετε (γεωμετρική κατασκευή) σημείο S του ημικυκλίου

ώστε αν η AS τέμνει την ON στο P και τη BN στο Q, να είναι \displaystyle \frac{{SQ}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την \displaystyle \tan \theta.

(Κατασκευή χωρίς απόδειξη δεν γίνεται αποδεκτή :no: )

Μπορείτε, αν θέλετε να προσθέσετε και δικά σας ερωτήματα.
κατασκευή και όχι μόνο_ok_oritzin_1.png
κατασκευή και όχι μόνο_ok_oritzin_1.png (30.17 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα . θέτω AP = 10k και άρα βάσει της υπόθεσης SQ = 3k.

Ας είναι ακόμα η κάθετη στο P επί την AP που τέμνει την AN στο F.

Θα είναι : \vartriangle PFA \approx \vartriangle SQB και το τετράπλευρο PQNFεγγράψιμο και PQ = PF = u.

Από την πιο πάνω ομοιότητα και το Π. Θ. στο \vartriangle SPB θα έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  S{B^2} = \frac{{30{k^2}}}{u} \hfill \\ 
  S{B^2} = 100{k^2} - {\left( {u + 3k} \right)^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Αν θέσω: u = kx με διώξιμα του SB προκύπτει η εξίσωση :

{x^4} + 6{x^3} - 91{x^2} + 900 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 8x - 20} \right) = 0 κι έχω 2 δεκτές ρίζες.

x = 5 ( η προηγούμενη λύση) είτε \boxed{x = 2\sqrt {19}  - 4}

Στη δεύτερη αυτή περίπτωση αφού k = ux\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,10k\left( {13k + u} \right) = 2{R^2},

υπολογίζω το 10k ως έκφραση του R και γράφω τον κύκλο \left( {A,10k} \right) που τέμνει την ακτίνα ON στο P

είναι δε \boxed{\tan \theta  = \sqrt {19}  - 4}

Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγω αν εφαρμόσω Θ. διχοτόμου στο \vartriangle BSP.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 09, 2021 12:29 pm

Ομολογώ ότι αυτή η δεύτερη περίπτωση δεν ήταν στις προθέσεις μου. Την πληροφορήθηκα από τον φίλο μου

Νίκο Φραγκάκη. Ευχαριστώ πάντως τον Νίκο, για την ολοκληρωμένη κάλυψη του θέματος. Θα περιμένω να δω

αν υπάρξουν άλλες απαντήσεις και θα γράψω πώς δημιουργήθηκε η άσκηση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 11, 2021 1:13 pm

Ας πω δυο λόγια για την δημιουργία της άσκησης η οποία ήρθε τυχαία.
Κατασκευή και όχι μόνο.β.png
Κατασκευή και όχι μόνο.β.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
Πήρα το μέσο Q του BN, έφερα τη χορδή AQS και αναζήτησα το λόγο \dfrac{y}{x}.

Παρατήρησα ότι P είναι το βαρύκεντρο του NAB, οπότε PQ=\dfrac{x}{2}.

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AP \cdot AS = 2{R^2} \Leftrightarrow x(3x + 2y) = 4{R^2}\\ 
\\ 
AQ \cdot QS = \dfrac{{N{B^2}}}{4} = \dfrac{{{R^2}}}{2} \Leftrightarrow 3xy = {R^2} 
\end{array} \right. \Rightarrow 3{x^2} = 10xy \Leftrightarrow \boxed{\frac{y}{x}=\frac{3}{10}}


Πήρα λοιπόν το συμπέρασμα ως υπόθεση και ζήτησα την κατασκευή του σημείου S. Λογάριαζα όμως "χωρίς

τον ξενοδόχο", αφού υπήρχε και δεύτερη θέση του S που δίνει τον ίδιο λόγο, όπως αποκάλυψε ο Νίκος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες