Κατασκευή και όχι μόνο

#1

: Κατασκευή και όχι μόνο.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

είναι το μέσο ημικυκλίου κέντρου

και διαμέτρου 2R.

Να εντοπίσετε (γεωμετρική κατασκευή) σημείο

του ημικυκλίου

ώστε αν η

τέμνει την

στο

και τη

στο

να είναι $\displaystyle \frac{{SQ}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan \theta.$

(Κατασκευή χωρίς απόδειξη δεν γίνεται αποδεκτή

)

Μπορείτε, αν θέλετε να προσθέσετε και δικά σας ερωτήματα.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:56 pm
Κατασκευή και όχι μόνο.png
είναι το μέσο ημικυκλίου κέντρου και διαμέτρου Να εντοπίσετε (γεωμετρική κατασκευή) σημείο του ημικυκλίου

ώστε αν η τέμνει την στο και τη στο να είναι $\displaystyle \frac{{SQ}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan \theta.$

(Κατασκευή χωρίς απόδειξη δεν γίνεται αποδεκτή )

Μπορείτε, αν θέλετε να προσθέσετε και δικά σας ερωτήματα.

Μια λύση είναι σχετικά απλή.

: κατασκευή και όχι μόνο_a.png (24.05 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Κατασκευή

Ας είναι R = 3m

η ακτίνα του κύκλου . Θεωρώ σημείο

της ακτίνας

με $\boxed{OP = m}$ . Η

τέμνει την

στο

και το ημικύκλιο στο

.

Ας είναι AP = 10k

, τότε από Π. Θ. στο $\vartriangle OPA,\,\,\,\boxed{10{k^2} = {m^2}}$ . Η κάθετη στο

επί την

τέμνει την

στο

.

Επειδή $\widehat {PAN} = \widehat {SBQ}$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο ) και $\widehat {ANO} = \widehat {ONB} = 45^\circ$ Τα τρίγωνα

$PFA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SQB$ είναι όμοια και το τετράπλευρο NFPQ

εγγράψιμο με PQ = PF

.

Επειδή $\omega + \theta = 45^\circ \Rightarrow \tan \omega = \dfrac{{1 - \dfrac{1}{3}}}{{1 + \dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{PF = PQ = 5k}$

Μα τότε κι αφού $AP \cdot AS = AO \cdot AB \Rightarrow 10k\left( {10k + PS} \right) = 18{m^2} = 180{k^2} \Rightarrow PS = 8k \Rightarrow \boxed{QS = 3k}$

Δηλαδή $\boxed{\dfrac{{QS}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}}$ . Προφανώς $\boxed{\tan \theta = \dfrac{1}{3}}$

Υπάρχει όμως και διαφορετικού αποτελέσματος λύση θα την γράψω αργότερα ή αύριο .

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:56 pm
Κατασκευή και όχι μόνο.png
είναι το μέσο ημικυκλίου κέντρου και διαμέτρου Να εντοπίσετε (γεωμετρική κατασκευή) σημείο του ημικυκλίου

ώστε αν η τέμνει την στο και τη στο να είναι $\displaystyle \frac{{SQ}}{{AP}} = \frac{3}{{10}}.$ Στη συνέχεια να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan \theta.$

(Κατασκευή χωρίς απόδειξη δεν γίνεται αποδεκτή )

Μπορείτε, αν θέλετε να προσθέσετε και δικά σας ερωτήματα.

: κατασκευή και όχι μόνο_ok_oritzin_1.png (30.17 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα . θέτω AP = 10k

και άρα βάσει της υπόθεσης SQ = 3k

.

Ας είναι ακόμα η κάθετη στο

επί την

που τέμνει την

στο

.

Θα είναι : $\vartriangle PFA \approx \vartriangle SQB$ και το τετράπλευρο PQNF

εγγράψιμο και PQ = PF = u

.

Από την πιο πάνω ομοιότητα και το Π. Θ. στο $\vartriangle SPB$ θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} S{B^2} = \frac{{30{k^2}}}{u} \hfill \\ S{B^2} = 100{k^2} - {\left( {u + 3k} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Αν θέσω: u = kx

με διώξιμα του

προκύπτει η εξίσωση :

${x^4} + 6{x^3} - 91{x^2} + 900 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 8x - 20} \right) = 0$ κι έχω 2 δεκτές ρίζες.

x = 5

( η προηγούμενη λύση) είτε $\boxed{x = 2\sqrt {19} - 4}$

Στη δεύτερη αυτή περίπτωση αφού $k = ux\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,10k\left( {13k + u} \right) = 2{R^2}$ ,

υπολογίζω το 10k

ως έκφραση του

και γράφω τον κύκλο $\left( {A,10k} \right)$ που τέμνει την ακτίνα

στο

είναι δε $\boxed{\tan \theta = \sqrt {19} - 4}$

Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγω αν εφαρμόσω Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle BSP$ .

#4

Ομολογώ ότι αυτή η δεύτερη περίπτωση δεν ήταν στις προθέσεις μου. Την πληροφορήθηκα από τον φίλο μου

Νίκο Φραγκάκη. Ευχαριστώ πάντως τον Νίκο, για την ολοκληρωμένη κάλυψη του θέματος. Θα περιμένω να δω

αν υπάρξουν άλλες απαντήσεις και θα γράψω πώς δημιουργήθηκε η άσκηση.

#5

Ας πω δυο λόγια για την δημιουργία της άσκησης η οποία ήρθε τυχαία.

: Κατασκευή και όχι μόνο.β.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Πήρα το μέσο

του

έφερα τη χορδή AQS

και αναζήτησα το λόγο $\dfrac{y}{x}.$

Παρατήρησα ότι

είναι το βαρύκεντρο του NAB,

οπότε $PQ=\dfrac{x}{2}.$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AP \cdot AS = 2{R^2} \Leftrightarrow x(3x + 2y) = 4{R^2}\\ \\ AQ \cdot QS = \dfrac{{N{B^2}}}{4} = \dfrac{{{R^2}}}{2} \Leftrightarrow 3xy = {R^2} \end{array} \right. \Rightarrow 3{x^2} = 10xy \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{y}{x}=\frac{3}{10}}$

Πήρα λοιπόν το συμπέρασμα ως υπόθεση και ζήτησα την κατασκευή του σημείου

Λογάριαζα όμως "χωρίς

τον ξενοδόχο", αφού υπήρχε και δεύτερη θέση του

που δίνει τον ίδιο λόγο, όπως αποκάλυψε ο Νίκος.

Κατασκευή και όχι μόνο

Κατασκευή και όχι μόνο

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

Re: Κατασκευή και όχι μόνο

Μέλη σε σύνδεση