Μέγιστο διαμέσου

KARKAR · #1

: Μέγιστο διαμέσου.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Οι χορδές AB=6

και

ενός κύκλου , είναι κάθετες . Σημείο

κινείται στο ημικύκλιο που δεν

περιέχει το

. Αν

είναι το μέσο της χορδής

, υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος

.

Σημείωση : Την ώρα που γράφω την άσκηση γίνεται μεγάλος σεισμός

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 03, 2021 12:20 pm
Μέγιστο διαμέσου.pngΟι χορδές και ενός κύκλου , είναι κάθετες . Σημείο κινείται στο ημικύκλιο που δεν

περιέχει το . Αν είναι το μέσο της χορδής , υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος .

Σημείωση : Την ώρα που γράφω την άσκηση γίνεται μεγάλος σεισμός

Θ Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABSC

, Π. Θ. στο $\vartriangle SCB$ και πρώτο θ. διαμέσων

στο $\vartriangle ABS$ με $\boxed{CS = 2x}$ έχω: $\boxed{A{M^2} = f(x) = \frac{{2\sqrt {13} \left( {\sqrt {13 - {x^2}} + 3x} \right)}}{{13}}}$

Απ όπου για $\boxed{{x_0} = \sqrt {\frac{{23\sqrt {1105} }}{{170}} + \frac{{13}}{2}} }$ την μέγιστη διάμεσο :

$\boxed{A{M_{\max }} = \sqrt {f\left( {{x_0}} \right)} = \frac{{\sqrt {13} + \sqrt {85} }}{2}}$

Η λύση δεν είναι καθόλου κομψή.

Τώρα " βλέπω" ότι μπορεί να προκύψει αλλιώς .:

Το βαρύκεντρο του τριγώνου διαγράφει σταθερό κύκλο και η μεγιστοποίηση πιάνεται όταν ευθεία της διαμέσου διέρχεται από το κέντρο του

: μέγιστο διαμέσου_new.png (27.93 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το

είναι : $\boxed{\frac{1}{3}R = \frac{{\sqrt {13} }}{3}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 03, 2021 12:20 pm
Μέγιστο διαμέσου.pngΟι χορδές και ενός κύκλου , είναι κάθετες . Σημείο κινείται στο ημικύκλιο που δεν

περιέχει το . Αν είναι το μέσο της χορδής , υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος .

Σημείωση : Την ώρα που γράφω την άσκηση γίνεται μεγάλος σεισμός

Θέτω

Είναι $BC=2\sqrt{13}.$

: Μέγιστο διαμέσου.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές

$\displaystyle A{M^2} = {x^2} + 36 - 12x\cos (\theta + \omega ) = {x^2} + 36 - 12x\left( {\frac{{3x}}{{13}} - \frac{{2\sqrt {13 - {x^2}} }}{{13}}} \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle A{M^2} = \frac{1}{{13}}\left( { - 23{x^2} + 24x\sqrt {13 - {x^2}} + 468} \right),$ όπου με παραγώγους βρίσκω

$\boxed{A{M_{\max }} = \frac{{\sqrt {13} + \sqrt {85} }}{2}}$ για $\boxed{x = \sqrt {\frac{{1105 - 23\sqrt {1105} }}{{170}}}}$

Αρχικά πίστεψα ότι $x=\sqrt 2$ κι έχασα αρκετό χρόνο προσπαθώντας να το αποδείξω. Η προσέγγιση

είναι όντως εντυπωσιακή! Η διαφορά αυτής της τιμής από τη μέγιστη είναι

KARKAR · #4

: Μέγιστο διαμέσου.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Μια διαφορετική προσέγγιση θα ήταν η εύρεση του γεωμετρικού τόπου του

. Αυτός είναι

ο κύκλος με κέντρο το

, που βλέπετε στο σχήμα ( εδώ μεταφέρεται τώρα το πρόβλημα ) .

Τότε είναι προφανές ότι : $AM_{max}=AK+KB=\dfrac{\sqrt{85}+\sqrt{13}}{2}$

Μέγιστο διαμέσου

Μέγιστο διαμέσου

Re: Μέγιστο διαμέσου

Re: Μέγιστο διαμέσου

Re: Μέγιστο διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση