Ίσοι και εφαπτόμενοι

#1

: Ίσοι και εφαπτόμενοι.png (20.82 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

είναι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου ABC

με

και

Επί της πλευράς

θεωρώ τα σημεία S, T,

ώστε

Ι) Να κατασκευάσετε κύκλο (K, R)

που να διέρχεται από τα σημεία S, T

και να εφάπτεται στις ευθείες

AB, AC

και να υπολογίσετε την ακτίνα του.

II) Να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία A, T, C

εφάπτεται στον (K)

και είναι ίσος με αυτόν.

KARKAR · #2

: Ίσοι κύκλοι.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Γιώργο , σίγουρα με κάποιες ασκήσεις μου σε έχω παιδέψει περισσότερο , αλλά κι εδώ τα πράγματα δεν είναι ρόδινα .

Αρχικά με δύο Π.Θ. βρίσκουμε : $CD=3\sqrt{7} , CB=6\sqrt{2}$ . Επειδή : $BP^2=BS\cdot BT = 2\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}$ ,

παίρνω : BP=4

. Έτσι κατασκευάζουμε τον κόκκινο κύκλο , για του οποίου η ακτίνα είναι : $r=16\tan\widehat{KAP}$ .

Αλλά $AM=3\sqrt{2}\sqrt{7}$ , οπότε : $\tan\widehat{KAP}=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$ και τελικά : $r=\dfrac{16}{\sqrt{7}}$ .

Υπολογίζω με Stewart , ότι : $AT=8\sqrt{2}$ και με Ήρωνα , ότι : $(ACT)=6\sqrt{7}$ , οπότε : $r'=\dfrac{abc}{4E}=\dfrac{16}{\sqrt{7}}}$ .

Κι εκεί που νόμιζα ότι τέλειωσε , βλέπω ότι ζητείται και η επαφή των δύο κύκλων . Το αφήνω προς το παρόν ...

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 02, 2021 10:37 am
Ίσοι και εφαπτόμενοι.png
είναι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου με και Επί της πλευράς

θεωρώ τα σημεία ώστε

Ι) Να κατασκευάσετε κύκλο που να διέρχεται από τα σημεία και να εφάπτεται στις ευθείες

και να υπολογίσετε την ακτίνα του.

II) Να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία εφάπτεται στον και είναι ίσος με αυτόν.

Ι) $DC^{2}=12^{2}-9^{2}=7.3^{3}\Leftrightarrow DC=3\sqrt{7}, a^{2}=CD^{2}+DB^{2}\Leftrightarrow a=6\sqrt{2}, MC^{2}=BN^{2}=CT.CS=\dfrac{2a^{2}}{9}\Rightarrow MC=4,CL=\dfrac{a}{2}=3\sqrt{2},AL=3\sqrt{14},$

Από τα όμοια τρίγωνα $ALC,AMK,\dfrac{LC}{R}=\dfrac{AL}{AM}\Rightarrow R=\dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{14}},$
Αρα ο κύκλος (K)

κατασκευάζεται γιατί το κέντρο του βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας

και στο σημείο N,AN=16

με ακτινα

προσδιορίζουμε το κέντρο

II) Απο το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $ACT,AT=8\sqrt{2}$ $(ACT)=3\sqrt{2}\sqrt{14},R_{G}=\dfrac{(ACT)}{4AC.AT.TC}\Rightarrow R_{G}=\dfrac{16\sqrt{2}}{\sqrt{14}}$
Αρα οι δυο κύκλοι ειναι ίσοι . Θα αποδειχθεί ότι τα σημεία K,T,G

είναι συνευθειακά

$GJ\perp CT,JT=TL,LK\perp BC,$ Αρα το ορθογώνια τρίγωνα GJT,TLK

είναι ίσα και $\hat{TKL}=\hat{JGT}=\theta ,\hat{KTL}=90-\theta ,\hat{JTG}+\hat{JTK}=90-\theta +90+\theta =180$
Αρα τα σημεία G,T,K

είναι συνευθειακά .Τέλος

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 02, 2021 10:37 am
Ίσοι και εφαπτόμενοι.png
είναι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου με και Επί της πλευράς

θεωρώ τα σημεία ώστε

Ι) Να κατασκευάσετε κύκλο που να διέρχεται από τα σημεία και να εφάπτεται στις ευθείες

και να υπολογίσετε την ακτίνα του.

II) Να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία εφάπτεται στον και είναι ίσος με αυτόν.

: Επαφή και ίσοι 1.png (22.47 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

α) Γράφω τυχαίο κύκλο δια των $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ ( παράδειγμα με διάμετρο το

) και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα από το

εφαπτόμενο τμήμα

.

Γράφω, μετά , τον κύκλο $\left( {B,u} \right)$ που τέμνει την ευθεία

σε δύο σημεία , $J\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ εκτός και εντός του τριγώνου $\vartriangle ABC$

και είναι η άλλη κορυφή των ζητούμενων κύκλων .

Απόδειξη :

Επειδή ${u^2} = BS \cdot BT \Rightarrow B{J^2} = B{F^2} = BS \cdot BT$ οι κύκλοι : $\left( {T,S,J} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {T,S,F} \right)$ εφάπτονται στην

στα σημεία $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ .

Οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται , λόγω συμμετρίας και στην

ενώ το κέντρο του μεγάλου κύκλου , έστω

, θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat {BAC}$ .

Υπολογισμός ακτίνας

: Επαφή και ίσοι 2.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Προφανώς το τετράπλευρο CBJG

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε και το $\vartriangle AGJ$ είναι ισοσκελές . Αβίαστα προκύπτουν:

$BC = \sqrt {B{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {B{D^2} + A{C^2} - A{D^2}} = 6\sqrt 2$ και $\cos B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$

$\left\{ \begin{gathered} B{J^2} = BS \cdot BT = 2\sqrt 2 \cdot 4\sqrt 2 = 16 \hfill \\ DF = 1 \hfill \\ T{F^2} = B{F^2} + B{T^2} - 2BF \cdot BT\cos B \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} BJ = 4 \hfill \\ DF = 1 \hfill \\ TF = 4\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\vartriangle AJG \approx \vartriangle ABC \Rightarrow GJ = 8\sqrt 2$ και $\vartriangle SJG \approx \vartriangle BSJ \Rightarrow \dfrac{{SJ}}{{BS}} = \dfrac{{JG}}{{SJ}} = \dfrac{{SG}}{{BJ}} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} SJ = 4\sqrt 2 \hfill \\ SG = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από το τύπο του Ήρωνα στο $\vartriangle SGJ \to \left( {8,8\sqrt 2 ,4\sqrt 2 } \right)$ και τον τύπο $R = \dfrac{{abc}}{{4E}}$ έχω: $\boxed{R = \dfrac{{16\sqrt 7 }}{7}}$

Και πάμε τώρα στο ωραίο μέρος .

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} \frac{{AC}}{{CG}} = \frac{{12}}{4}\, = 3 \hfill \\ \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{9}{3} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\, \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{CG}} = \dfrac{{AD}}{{DB}} \Rightarrow CD//GB \Rightarrow CB \bot AB$

συνεπώς και το $\vartriangle GFJ$ είναι ισοσκελές άρα τα G,T,F

ανήκουν στην ίδια ευθεία .

: ϊσοι και εφάπτοντα_τελικό.png (36.24 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Επειδή τώρα το τρίγωνο $\vartriangle JTF \to \left( {8,4\sqrt 2 ,8} \right)$ και το

μέσο του

θα είναι : $\boxed{\vartriangle TGJ = \vartriangle FTA}$ και άρα οι κύκλοι τους είναι ίσοι και ο δεύτερος περνά από το

Γιατί , $BT \cdot BC = BF \cdot BA \Leftrightarrow 4\sqrt 2 \cdot 6\sqrt 2 = 4 \cdot 12$

Επίσης αν

το συμμετρικό του

ως προς το

έχω: $GT = TF\,\,\kappa \alpha \iota \,KT = TK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KG \bot GA$ .

Συνεπώς $FL = KG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FL \bot AC$ όμως $FC = \sqrt {1 + 144 - 81} = 8$ , δηλαδή η

είναι μεσοκάθετος στο

και άρα το

είναι το κέντρο του κύκλου $\left( {A,C,T} \right)$

#5

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Η έμπνευση της άσκησης ήρθε από ένα
παλαιότερο θέμα του KARKAR Δίδυμοι κύκλοι.

Ίσοι και εφαπτόμενοι

Ίσοι και εφαπτόμενοι

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

Μέλη σε σύνδεση