Εξ όνυχος τον λέοντα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξ όνυχος τον λέοντα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 01, 2021 1:15 pm

Εξ  όνυχος τον  λέοντα.png
Εξ όνυχος τον λέοντα.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος AD και την διχοτόμο CE .

Αν το μέσο M του τμήματος AD , ισαπέχει από τα σημεία C και E , υπολογίστε το : \sin\hat{B}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξ όνυχος τον λέοντα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 01, 2021 5:06 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 01, 2021 1:15 pm
Εξ όνυχος τον λέοντα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος AD και την διχοτόμο CE .

Αν το μέσο M του τμήματος AD , ισαπέχει από τα σημεία C και E , υπολογίστε το : \sin\hat{B}
Εξ όνυχος τον λέοντα.png
Εξ όνυχος τον λέοντα.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
\displaystyle CD = \frac{{{b^2}}}{a},AE = \frac{{bc}}{{a + b}} και \displaystyle aAD = bc \Leftrightarrow AM = MD = \frac{{bc}}{{2a}}. Με Πυθαγόρειο στο MCD, νόμο

συνημιτόνου στο AME κι επειδή MC=ME και c^2=a^2-b^2, καταλήγω (μετά τις πράξεις) στην εξίσωση:

\displaystyle {b^2} + 2ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\sin B = \frac{b}{a} = \sqrt 2  - 1}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξ όνυχος τον λέοντα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 02, 2021 5:35 pm

εξ όνυχος το λέοντα.png
εξ όνυχος το λέοντα.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Επειδή ζητώ τριγωνομετρικό αριθμό θεωρώ ότι \boxed{AC = 1} , καρτεσιανό σύστημα με αρχή το A και την ευθεία AB οριζόντιο άξονα.

Έστω B(b,0)\,\,b > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E(e,0)\,\,,\,\,\boxed{e = \frac{b}{{a + 1}}\,} με a = \sqrt {{b^2} + 1} το μήκος της υποτείνουσας .

Η ευθεία CB \to x + by = bc\,\, άρα η AD \to y = bx οπότε από το σύστημά τους : D\left( {\dfrac{b}{{{a^2}}},\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) \Rightarrow M\left( {\dfrac{b}{{2{a^2}}},\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}}} \right).

Επειδή : \overrightarrow {CM}  = \left( {\dfrac{b}{{2{a^2}}},\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}} - 1} \right)\,\,,\,\,\overrightarrow {EM}  = \left( {\dfrac{b}{{2{a^2}}} - e,\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}}} \right) η ισότητα των μέτρων τους με x = {b^2} > 0δίνει την εξίσωση:

\sqrt {x + 1} \left( {3x + 2} \right) = \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) που με ύψωση στο τετράγωνο δίδει την μη ισοδύναμη: x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - 4} \right) = 0

και έχω μόνο μια δεκτή ρίζα : \boxed{x = 2\sqrt 2  + 2}. Άρα a = \sqrt {2\sqrt 2  + 3} οπότε: \boxed{\sin B = \frac{1}{a} = \sqrt 2  - 1}


Παρατήρηση:

\sqrt {2\sqrt 2  + 3}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2  + 1


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εξ όνυχος τον λέοντα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 04, 2021 7:42 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 01, 2021 1:15 pm
Εξ όνυχος τον λέοντα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος AD και την διχοτόμο CE .

Αν το μέσο M του τμήματος AD , ισαπέχει από τα σημεία C και E , υπολογίστε το : \sin\hat{B}
Με Q συμμετρικό του C ως προς M ,είναι AQ//CD άρα AQ \bot AD κι έστω ότι

AE \cap AQ=Z οπότε το τρίγωνο CAZ είναι ισοσκελές.

Αν P είναι μέσον της AE θα είναι MP//AZ\Rightarrow MP\bot DA και N μέσον της AB

Επειδή \angle  \dfrac{C}{2}= \angle CPM=y+ \theta =x+ \theta  \Rightarrow  \angle x= \angle y και λόγω των CM=ME

και ισότητας των γωνιών \omega  \Rightarrow  \triangle CAM= \triangle MNE \Rightarrow MN=b \Rightarrow DB=2b

Αλλά c^2=a . DB \Rightarrow DB= \dfrac{c^2}{a}=2b \Rightarrow  c^2=2ab \Leftrightarrow a^2-b^2=2ab και με

\dfrac{b}{a}=sin \omega  \Rightarrow sin^2 \omega +2sin \omega -1=0 με δεκτή ρίζα sin \omega = \sqrt{2} -1
εξ όνυχος τον λέοντα.png
εξ όνυχος τον λέοντα.png (26.3 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης