Τρία ημικύκλια

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρία ημικύκλια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 27, 2021 8:19 pm

Τρία  ημικύκλια.png
Τρία ημικύκλια.png (20.13 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές
Για τα συνευθειακά σημεία A, B , C είναι : AB<BC . Γράφουμε τα τρία ημικύκλια και θεωρούμε

σημείο S της κοινής εφαπτομένης των δύο μικρότερων . Η SA τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο P , ενώ

η SC μεγάλο και μεσαίο στα T , Q αντίστοιχα . Τέλος η PQ ξανατέμνει το μικρό ημικύκλιο στο L .

α) Δείξτε ότι LQ=BT .

β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου LBQT , αν AB=a και BC=b .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρία ημικύκλια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 27, 2021 10:09 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 27, 2021 8:19 pm
Τρία ημικύκλια.pngΓια τα συνευθειακά σημεία A, B , C είναι : AB<BC . Γράφουμε τα τρία ημικύκλια και θεωρούμε

σημείο S της κοινής εφαπτομένης των δύο μικρότερων . Η SA τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο P , ενώ

η SC μεγάλο και μεσαίο στα T , Q αντίστοιχα . Τέλος η PQ ξανατέμνει το μικρό ημικύκλιο στο L .

α) Δείξτε ότι LQ=BT .

β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου LBQT , αν AB=a και BC=b .
Τρία ημικύκλια_a.png
Τρία ημικύκλια_a.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Επειδή , SQ \cdot SC = S{B^2} = SP \cdot SA το τετράπλευρο APQC είναι εγγράψιμο

Έτσι τώρα κι αφού το τετράπλευρο APLB είναι εγγεγραμμένο θα έχω:
Τρία ημικύκλια_b.png
Τρία ημικύκλια_b.png (22.3 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{C_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} και άρα το τρίγωνο BLQ είναι ορθογώνιο και αναγκαστικά

Αφού AL//BQ , η AL θα διέρχεται από το T, με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο

TLBQ να είναι ορθογώνιο , οπότε οι διαγώνιές του BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LQ είναι ίσες .

Για να έχω τώρα μέγιστο ορθογώνιο σε εμβαδόν αρκεί να έχω μέγιστες διαστάσεις

Δηλαδή τα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q να είναι μέσα των ημικυκλίων ( όταν είναι το ένα θα είναι προφανώς και το άλλο ).

\boxed{{{\left( {LBQT} \right)}_{\max }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{b\sqrt 2 }}{2} = \frac{{ab}}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης