Από σταθερό σημείο 7

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από σταθερό σημείο 7

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 24, 2021 8:37 pm

Από  σταθερό σημείο  7.png
Από σταθερό σημείο 7.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Στις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , κινούνται σημεία S , T αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

AS=CT . Δείξτε ότι ο κύκλος ( A , S , T ) , διέρχεται και από άλλο - πλην του A - σταθερό σημείο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5619
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Από σταθερό σημείο 7

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Φεβ 24, 2021 10:30 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 8:37 pm
Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , κινούνται σημεία S , T αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

AS=CT . Δείξτε ότι ο κύκλος ( A , S , T ) , διέρχεται και από άλλο - πλην του A - σταθερό σημείο .
Εστω Q το σημείο τομής του κύκλου με την διχοτόμο της γωνίας \angle A. Καταρχάς θεωρούμε d=QS=QT.
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε: \displaystyle{QA\cdot ST=d\left ( AT+AS \right )\Rightarrow QA=\frac{d}{ST}\ b, ct,}
αφού το τρίγωνο QTS διατηρείται όμοιο προς τον εαυτό του, οπότε \displaystyle{\frac{d}{ST}=k, ct}
Το σταθερό λοιπόν σημείο είναι το σημείο Q.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Από σταθερό σημείο 7

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Φεβ 24, 2021 10:56 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 8:37 pm
Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , κινούνται σημεία S , T αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

AS=CT . Δείξτε ότι ο κύκλος ( A , S , T ) , διέρχεται και από άλλο - πλην του A - σταθερό σημείο .
28.PNG
28.PNG (28.68 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο CASR, το T ορίζεται ως η τομή της AC με την κάθετη από το R στην εσωτερική διχοτόμο της ACR οπότε S\rightarrow T προβολικότητα και αν P,Q μέσα των τμημάτων AS,AT αντίστοιχα έχω ότι το O (κέντρο του κύκλου (A,S,T) )ορίζεται ως η τομή δύο προβολικά συνδεδεμένων δέσμεων(pencils)-με τα κέντρα στο άπειρο- οπότε το O κινείται σε ευθεία αφού όταν S στο άπειρο τότε και τα P,Q,T
Το O κινείται λοιπόν σε σταθερή ευθεία και τελειώσαμε.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Από σταθερό σημείο 7

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Φεβ 24, 2021 11:45 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 8:37 pm
Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , κινούνται σημεία S , T αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

AS=CT . Δείξτε ότι ο κύκλος ( A , S , T ) , διέρχεται και από άλλο - πλην του A - σταθερό σημείο .
Το άλλο σταθερό σημείο K από το οποίο περνά ο κύκλος ,προσδιορίζεται ως η τομή της μεσοκαθέτου

της AC με τη διχοτόμο της γωνίας A

Πράγματι,αν η διχοτόμος της γωνίας A τέμνει τον κύκλο στο K ,κατασκευάζοντας το παραλ/μμο

ATPK ,είναι προφανής η ισότητα των τριγώνων ASK,TCP

Επομένως, \angle ATK= \angle CPK και το TCPK είναι εγγράψιμμο ,άρα  \angle TCK= \dfrac{A}{2}
Από σταθερό σημείο 7.png
Από σταθερό σημείο 7.png (33.42 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από σταθερό σημείο 7

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 25, 2021 12:39 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 24, 2021 8:37 pm
Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές AB , AC , τριγώνου ABC , κινούνται σημεία S , T αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

AS=CT . Δείξτε ότι ο κύκλος ( A , S , T ) , διέρχεται και από άλλο - πλην του A - σταθερό σημείο .
Απο  σταθερό σημείο 7.png
Απο σταθερό σημείο 7.png (25.6 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
Τα στοιχεία του \vartriangle ABC είναι σταθερά .

Το κέντρο του κύκλου \left( {A,S,T} \right) ανήκει στη μεσοκάθετο του μεταβλητού ST και θα τον τέμνει στο νότιο πόλο F που ανήκει στη σταθερή διχοτόμο της γωνίας \widehat {BAC}.

Οι αποστάσεις του F, FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FN από τις AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB είναι ίσες με άμεση συνέπια : AM = AN \Rightarrow \boxed{AM = MC}

Δηλαδή το F είναι η τομή της σταθερής διχοτόμου της \widehat {BAC} με τη σταθερή μεσοκάθετο της πλευράς AC, άρα σταθερό .

Παρατήρηση .

Μιχάλη απλώς ήρθα δεύτερος !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης