Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12539
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 21, 2021 12:32 pm

Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα.png
Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Ο μικρότερος κύκλος (K) έχει το κέντρο του πάνω στον μεγαλύτερο (O) . Από τυχόν σημείο S

του (O) , φέρω τις εφαπτόμενες SP , ST προς τον (K) , οι οποίες ξανατέμνουν τον (O)

στα σημεία L,N . Έστω Q το σημείο τομής των LN , OK . Δείξτε ( με όποια σειρά θέλετε ) ,

ότι : α) LP=TN ... β) LN\perp OK ... γ) Τα σημεία T, Q , P είναι συνευθειακά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 21, 2021 5:12 pm

Ισότητα καθετότητα και συνευθειακότητα_a and b.png
Ισότητα καθετότητα και συνευθειακότητα_a and b.png (28.36 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Ας είναι F το αντιδιαμετρικό του K. Οι γωνίες \widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}} είναι ίσες ως συμπληρώματα των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών (σε ίδιο τόξο) , \widehat {{a_3}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_4}}.

α) τα ορθογώνια τρίγωνα PLK και TNK έχουν ακόμα KP = KT άρα είναι ίσα και θα έχουν : PL = TN\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL = KN.

β) Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι ρο τετράπλευρο FNKL είναι χαρταετός άρα FK \bot LN.
Ισότητα καθετότητα και συνευθειακότητα_c.png
Ισότητα καθετότητα και συνευθειακότητα_c.png (29.89 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

γ) η χορδή των επαφών PT ( ευθεία g) είναι κάθετη στην SK. Ας είναι E η τομή της από το L κάθετη στην SK, με την ST.

Θα είναι: LP = ET = TN και άρα στο τρίγωνο NEL θα έχω: TG//EL , δηλαδή βάσει του Ευκλειδείου αιτήματος οι ευθείες TG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g ταυτίζονται και το \boxed{G \equiv Q}.

Συχνές διακοπές ρεύματος 4-5 μέρες τώρα με έκαναν να χάσω επεισόδια στο :logo:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Φεβ 21, 2021 8:03 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Φεβ 21, 2021 12:32 pm
Ισότητα , καθετότητα και συνευθειακότητα.pngΟ μικρότερος κύκλος (K) έχει το κέντρο του πάνω στον μεγαλύτερο (O) . Από τυχόν σημείο S

του (O) , φέρω τις εφαπτόμενες SP , ST προς τον (K) , οι οποίες ξανατέμνουν τον (O)

στα σημεία L,N . Έστω Q το σημείο τομής των LN , OK . Δείξτε ( με όποια σειρά θέλετε ) ,

ότι : α) LP=TN ... β) LN\perp OK ... γ) Τα σημεία T, Q , P είναι συνευθειακά .
Από το εγγράψιμμο SLKN ,οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και PK=KT άρα τα ορθογώνια τρίγωνα PKL,KTN είναι

ίσα και οι γωνίες \theta είναι ίσες

Έτσι,LP=TN και SK διχοτόμος της \angle LSN συνεπώς OK μεσοκάθετη της LN

Τέλος,από τα εγγράψιμμα LQKP,QKNT όλες οι κόκκινες γωνίες είναι \theta άρα P,Q,T συνευθειακά
ισότητα-καθετότητα-συνευθειακά.png
ισότητα-καθετότητα-συνευθειακά.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες