Κατασκευή και ημίτονο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή και ημίτονο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 14, 2021 2:12 pm

Κατασκευή και ημίτονο.png
Κατασκευή και ημίτονο.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R και ένα σημείο S στην προέκταση του AB. Α) Να κατασκευάσετε τέμνουσα

SCD του ημικυκλίου, ώστε ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία C, D και έχει το κέντρο του K πάνω στο ημικύκλιο,

να εφάπτεται της AB σε ένα σημείο έστω M.

Β) Αν \displaystyle A\widehat SD = \theta και το M είναι μέσο του AS να υπολογίσετε το \displaystyle \sin \theta.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή και ημίτονο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 14, 2021 7:54 pm

Bisb.png
Bisb.png (17.53 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Το ότι το N είναι το μέσο του MK , είναι ίσως το πιο πολυπαιγμένο θέμα του φόρουμ .

Από το S φέρω το εφαπτόμενο τμήμα ST και γράφω τον κύκλο (S , ST) , ο οποίος

τέμνει την AB στο M . Το κάθετο τμήμα MK , μας δίνει το κέντρο του κύκλου .

Επειδή : SM=ST=x+y , είναι : x+y=2r-y , (x+y)^2=x(x+2r) .

Η επίλυση του συστήματος δίνει : x=y=\dfrac{2r}{3} και με λίγες πράξεις : NM=\dfrac{r\sqrt{2}}{3} ,

οπότε : \tan\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} και στην συνέχεια : \sin\theta=\dfrac{1}{3}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή και ημίτονο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 14, 2021 10:08 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 14, 2021 2:12 pm
Κατασκευή και ημίτονο.png Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R και ένα σημείο S στην προέκταση του AB. Α) Να κατασκευάσετε τέμνουσα

SCD του ημικυκλίου, ώστε ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία C, D και έχει το κέντρο του K πάνω στο ημικύκλιο,

να εφάπτεται της AB σε ένα σημείο έστω M.

Β) Αν \displaystyle A\widehat SD = \theta και το M είναι μέσο του AS να υπολογίσετε το \displaystyle \sin \theta.
κατασκευή κι ημίτονο.png
κατασκευή κι ημίτονο.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
Αν φέρω από το σταθερό S τα εφαπτόμενα τμήματα στο ημικύκλιο και στον κύκλο αυτά θα είναι ίσα αφού η \overline {DCS} είναι ο ριζικός τους άξονας.

Δηλαδή SE = SZ = u. Ας είναι SB = a σταθερό και έστω MB = k.

Τα M προσδιορίζεται από την τομή του κύκλου \left( {S,u} \right) με την διάμετρο AB, \boxed{u = \sqrt {a(a + 2R)} }

β) Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  k = u - a \hfill \\ 
  {d^2} = K{M^2} = k\left( {2R - k)} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

και το σημείο τομής ,N, της DC με KM είναι το μέσο της ακτίνας KM = d θα έχω:

\boxed{\sin \theta  = \frac{d}{{\sqrt {4{u^2} + {d^2}} }} = \frac{{\sqrt {\left( {a + R} \right)\sqrt {a\left( {a + 2R} \right)}  - a\left( {a + 2R} \right)} }}{{\sqrt {\left( {a + R} \right)\sqrt {a\left( {a + 2R} \right)}  + a\left( {a + 2R} \right)} }}}

π.χ. ανa = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R = 3 θα προκύψει: \boxed{\sin \theta  = \sqrt {\frac{{5\sqrt {16}  - 16}}{{5\sqrt {16}  + 16}}}  = \sqrt {\frac{4}{{36}}}  = \frac{1}{3}}

παρατήρηση
Δεν έκλεψα, απλώς η λύση είναι σχεδόν μονόδρομος
την αφήνω για τον κόλπο και τον τελικό τύπο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης