Διαφορά γωνιών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διαφορά γωνιών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm

Το κέντρο του κύκλου του \displaystyle {\rm{Euler}} τριγώνου ABC είναι σημείο της BC. Να βρείτε τη διαφορά |\widehat B-\widehat C|.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διαφορά γωνιών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Φεβ 08, 2021 10:28 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm
Το κέντρο του κύκλου του \displaystyle {\rm{Euler}} τριγώνου ABC είναι σημείο της BC. Να βρείτε τη διαφορά |\widehat B-\widehat C|.
Κύριε Γιώργο γιατί δεν δίνεται και το σχήμα ;

Φοβάστε μήπως φανεί η απάντηση;😀


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαφορά γωνιών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 09, 2021 10:50 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Φεβ 08, 2021 10:28 pm
george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm
Το κέντρο του κύκλου του \displaystyle {\rm{Euler}} τριγώνου ABC είναι σημείο της BC. Να βρείτε τη διαφορά |\widehat B-\widehat C|.
Κύριε Γιώργο γιατί δεν δίνεται και το σχήμα ;

Φοβάστε μήπως φανεί η απάντηση;😀
Ας μην τα δίνουμε όλα έτοιμα, κύριε Στάθη :agent:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διαφορά γωνιών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 09, 2021 11:01 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm
Το κέντρο του κύκλου του \displaystyle {\rm{Euler}} τριγώνου ABC είναι σημείο της BC. Να βρείτε τη διαφορά |\widehat B-\widehat C|.
διαφορά γωνιών.png
διαφορά γωνιών.png (24.57 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Ας είναι AC > AB

Τα μέσα D,E,Z των πλευρών BC,CA,AB και το ίχνος K του ύψους από το A ορίζουν ισοσκελές τραπέζιο .

Ο κύκλος του Euler θα διέρχεται από τα τέσσερα αυτά σημεία ( και όχι μόνο )

κι αφού θα έχει το κέντρο του στη ευθεία της βάσης KD θα έχει διάμετρο την KD.

Η ευθεία AK θα εφάπτεται του κύκλου αυτού ( έστω O το κέντρο του) στο K συνεπώς :

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}} και άρα \widehat {{B_{}}} - \widehat {{C_{}}} = 90^\circ

Παρατήρηση:

Αν η γωνία B (ενώ είναι η πιο μεγάλη) είναι οξεία ή ορθή,

τότε η μεγάλη βάση του τραπεζίου θα είναι το τμήμα EZ και αποκλείεται το κέντρο του κύκλου να βρίσκεται στην BC


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Διαφορά γωνιών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Φεβ 09, 2021 4:56 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 07, 2021 1:24 pm
Το κέντρο του κύκλου του \displaystyle {\rm{Euler}} τριγώνου ABC είναι σημείο της BC. Να βρείτε τη διαφορά |\widehat B-\widehat C|.
Καλησπέρα ,

Το σχήμα με παίδεψε ,αλλά με τις πολλές δοκιμές έβλεπα ότι η διαφορά είναι 90^{0} και μετά πήγα

στην αποδεικτική διαδικασία .

Έστω AS\perp BS και H το ορθοκεντρο του ABC,SH=AS

είναι γνωστό οτι το σημείο S ανήκει στο κύκλο του Euler .Αν

BM=MC,ME=ES με ME=ES=\dfrac{R}{2},OA=R εχω ήδη δυο σημεία απο τον κύκλο του

Euler Αρκει να βρώ ενα ακόμη σημείο . Είναι HCL\perp AB,

\hat{CAS}=\phi =\hat{CHS},\hat{LCA}=2\phi =\hat{LSA},,λόγω του εγγραψίμου τετραπλευρου

LCSA

\hat{B}=\hat{\omega }=\hat{KCE},\hat{KCL}=90-\omega -\phi =\hat{KML},\hat{LMC}=\hat{LKC}=\omega +\phi

Οπότε στο τρίγωνο BKC,\omega +\phi =2\omega \Leftrightarrow \omega =\phi ,\hat{MLS}=90^{0}

και το σημείο L ανήκει στο κύκλο του Euler

με \hat{C}-\hat{B}=90^{0}
Συνημμένα
Διαφορά γωνιών.png
Διαφορά γωνιών.png (55.29 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Διαφορά γωνιών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τρί Φεβ 09, 2021 6:51 pm

Καλησπέρα!
Έστω O το περίκεντρο, H το ορθόκεντρο του ABC
Ακόμη έστω Z,E,D τα ίχνη των υψών των A,B,C
Το M(μέσο της OH) είναι κέντρο του κύκλου Euler \ (M\in BC)
20210209_182224.jpg
20210209_182224.jpg (48.09 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Το ορθόκεντρο, το βαρύκεντρο, το περίκεντρο και το κέντρο του κύκλου Euler ενός τριγώνου είναι συνευθειακά.(1)
Το B είναι ορθόκεντρο και το M κέντρο του κύκλου Euler του ACH
\stackrel{(1)}{\Rightarrow} Η CZ είναι ύψος και διάμεσος στο ACH άρα και διχοτόμος.
Έτσι \widehat{C}=\widehat{HCZ}
Αλλά \widehat{HCZ}=\widehat{HAD} από το εγγράψιμο AZDC
\Rightarrow \widehat{B}-\widehat{C}=\widehat{B}-\widehat{ZAB}=\widehat{AZB}=90^{\circ}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης