Περιακτίνα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περιακτίνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 06, 2021 1:51 pm

Περιακτίνα.png
Περιακτίνα.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές
Η πλευρά b του τριγώνου ABC είναι σταθερή , ενώ οι a,c έχουν σταθερό άθροισμα 10 .

Ο περίκυκλος του τριγώνου έχει ακτίνα R , ( χρησιμοποιήσαμε τον όρο περιακτίνα )

Α) ι) Αν b=6 , λύστε ως προς a , την εξίσωση : R=\dfrac{17}{5}

ιι) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της R .

Β) Αν b=8 , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της R . Σχολιάστε ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περιακτίνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 06, 2021 4:50 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 1:51 pm
Περιακτίνα.pngΗ πλευρά b του τριγώνου ABC είναι σταθερή , ενώ οι a,c έχουν σταθερό άθροισμα 10 .

Ο περίκυκλος του τριγώνου έχει ακτίνα R , ( χρησιμοποιήσαμε τον όρο περιακτίνα )

Α) ι) Αν b=6 , λύστε ως προς a , την εξίσωση : R=\dfrac{17}{5}

ιι) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της R .

Β) Αν b=8 , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της R . Σχολιάστε ...
Ai) \displaystyle 4\sqrt {(a - 2)(8 - a)}  = (ABC) = \frac{{6a(10 - a)}}{{4R}} \Leftrightarrow 4\sqrt {(a - 2)(8 - a)}  = \frac{{15a(10 - a)}}{{34}}

H λύση της εξίσωσης δίνει \boxed{ a = \frac{{16}}{5}} ή \boxed{ a = \frac{{34}}{5}} και το τρίγωνο που προκύπτει είναι ορθογώνιο.
Περιακτίνα.png
Περιακτίνα.png (24.31 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Aii) Για b=6 έχουμε \displaystyle R = \frac{{3a(10 - a)}}{{8\sqrt {(a - 2)(8 - a)} }} ενώ Β) για b=8 είναι \displaystyle R = \frac{{a(10 - a)}}{{2\sqrt {(a - 2)(8 - a)} }}

Θέτω \displaystyle f(a) = \frac{{a(10 - a)}}{{\sqrt {(a - 2)(8 - a)} }} και είναι \displaystyle f'(a) = \frac{{(a - 5)({a^2} - 10a + 32)}}{{{{(\sqrt {(a - 2)(8 - a)} )}^3}}}, απ' όπου προκύπτει ότι

για \boxed{a=5} παρουσιάζει ελάχιστο. Έτσι έχουμε για την πρώτη περίπτωση \boxed{{R_{\min }}= \frac{{25}}{8}} και για τη δεύτερη \boxed{{R_{\min }}= \frac{{25}}{6}}

Σε κάθε περίπτωση το ισοσκελές δίνει την ελάχιστη ακτίνα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7976
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περιακτίνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 07, 2021 1:19 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 1:51 pm
Περιακτίνα.pngΗ πλευρά b του τριγώνου ABC είναι σταθερή , ενώ οι a,c έχουν σταθερό άθροισμα 10 .

Ο περίκυκλος του τριγώνου έχει ακτίνα R , ( χρησιμοποιήσαμε τον όρο περιακτίνα )

Α) ι) Αν b=6 , λύστε ως προς a , την εξίσωση : R=\dfrac{17}{5}

ιι) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της R .

Β) Αν b=8 , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της R . Σχολιάστε ...
Περιακτίνα

Στην περίπτωση του σταθερού AC = b = 6 και μόνο για τον υπολογισμό του a.

Α1) Θεωρώ σύστημα αξόνων με αρχή το μέσο M του AC και οριζόντιο άξονα την ευθεία AC.

Με κέντρο το C γράφω κύκλο με ακτίνα \boxed{R = \frac{{17}}{5}} που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο K. Στον ίσο κύκλο \left( {K,\frac{{17}}{5}} \right) θα ανήκει το B .

Επειδή όμως το άθροισμα των αποστάσεών του από τα A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C είναι 10 θα ανήκει και στην έλλειψη μ εξίσωση \boxed{\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1}.
περιακτίνα_A_1.png
περιακτίνα_A_1.png (36.54 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Από το σύστημα : \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} + {\left( {y - \frac{8}{5}} \right)^2} = {\left( {\frac{{17}}{5}} \right)^2} \hfill \\ 
  \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

προκύπτει τελικά : BC = \dfrac{{34}}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA = \dfrac{{16}}{5} ή συμμετρικά .

Α2) και Β
περιακτίνα_A_2 B.png
περιακτίνα_A_2 B.png (20.67 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές

Το κέντρο K του κύκλου θα ανήκει στην σταθερή μεσοκάθετο , KM του AC η οποία τέμνει τον κύκλο στο βόρειο πόλο , έστω S .

Για να πετύχω την πιο μικρή τιμή του R αρκεί το B να στηθεί στο S .

Τότε SC \cdot SA = 2R \cdot SM \Leftrightarrow \boxed{25 = 2R\sqrt {25 - \frac{{{b^2}}}{4}} } . Έτσι

Αν b = 6, έχω: \boxed{{R_{\min }} = \frac{{25}}{8}} , ενώ αν b = 8 έχω: \boxed{{R_{\min }} = \frac{{25}}{6}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης