Περιακτίνα

KARKAR · #1

: Περιακτίνα.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Η πλευρά

του τριγώνου ABC

είναι σταθερή , ενώ οι a,c

έχουν σταθερό άθροισμα

.

Ο περίκυκλος του τριγώνου έχει ακτίνα

, ( χρησιμοποιήσαμε τον όρο περιακτίνα )

Α) ι) Αν b=6

, λύστε ως προς

, την εξίσωση : $R=\dfrac{17}{5}$

ιι) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της

.

Β) Αν b=8

, υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της

. Σχολιάστε ...

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 06, 2021 1:51 pm
Περιακτίνα.pngΗ πλευρά του τριγώνου είναι σταθερή , ενώ οι έχουν σταθερό άθροισμα .

Ο περίκυκλος του τριγώνου έχει ακτίνα , ( χρησιμοποιήσαμε τον όρο περιακτίνα )

Α) ι) Αν , λύστε ως προς , την εξίσωση : $R=\dfrac{17}{5}$

ιι) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της .

Β) Αν , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της . Σχολιάστε ...

Ai) $\displaystyle 4\sqrt {(a - 2)(8 - a)} = (ABC) = \frac{{6a(10 - a)}}{{4R}} \Leftrightarrow 4\sqrt {(a - 2)(8 - a)} = \frac{{15a(10 - a)}}{{34}}$

H λύση της εξίσωσης δίνει $\boxed{ a = \frac{{16}}{5}}$ ή $\boxed{ a = \frac{{34}}{5}}$ και το τρίγωνο που προκύπτει είναι ορθογώνιο.

: Περιακτίνα.png (24.31 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Aii) Για

έχουμε $\displaystyle R = \frac{{3a(10 - a)}}{{8\sqrt {(a - 2)(8 - a)} }}$ ενώ Β) για b=8

είναι $\displaystyle R = \frac{{a(10 - a)}}{{2\sqrt {(a - 2)(8 - a)} }}$

Θέτω $\displaystyle f(a) = \frac{{a(10 - a)}}{{\sqrt {(a - 2)(8 - a)} }}$ και είναι $\displaystyle f'(a) = \frac{{(a - 5)({a^2} - 10a + 32)}}{{{{(\sqrt {(a - 2)(8 - a)} )}^3}}},$ απ' όπου προκύπτει ότι

για $\boxed{a=5}$ παρουσιάζει ελάχιστο. Έτσι έχουμε για την πρώτη περίπτωση $\boxed{{R_{\min }}= \frac{{25}}{8}}$ και για τη δεύτερη $\boxed{{R_{\min }}= \frac{{25}}{6}}$

Σε κάθε περίπτωση το ισοσκελές δίνει την ελάχιστη ακτίνα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 06, 2021 1:51 pm
Περιακτίνα.pngΗ πλευρά του τριγώνου είναι σταθερή , ενώ οι έχουν σταθερό άθροισμα .

Ο περίκυκλος του τριγώνου έχει ακτίνα , ( χρησιμοποιήσαμε τον όρο περιακτίνα )

Α) ι) Αν , λύστε ως προς , την εξίσωση : $R=\dfrac{17}{5}$

ιι) Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της .

Β) Αν , υπολογίστε το ελάχιστο μήκος της . Σχολιάστε ...

Περιακτίνα

Στην περίπτωση του σταθερού AC = b = 6

και μόνο για τον υπολογισμό του

.

Α1) Θεωρώ σύστημα αξόνων με αρχή το μέσο

του

και οριζόντιο άξονα την ευθεία

.

Με κέντρο το

γράφω κύκλο με ακτίνα $\boxed{R = \frac{{17}}{5}}$ που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο

. Στον ίσο κύκλο $\left( {K,\frac{{17}}{5}} \right)$ θα ανήκει το

.

Επειδή όμως το άθροισμα των αποστάσεών του από τα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ είναι

θα ανήκει και στην έλλειψη μ εξίσωση $\boxed{\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1}$ .

: περιακτίνα_A_1.png (36.54 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Από το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {\left( {y - \frac{8}{5}} \right)^2} = {\left( {\frac{{17}}{5}} \right)^2} \hfill \\ \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

προκύπτει τελικά : $BC = \dfrac{{34}}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA = \dfrac{{16}}{5}$ ή συμμετρικά .

Α2) και Β

: περιακτίνα_A_2 B.png (20.67 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Το κέντρο

του κύκλου θα ανήκει στην σταθερή μεσοκάθετο ,

του

η οποία τέμνει τον κύκλο στο βόρειο πόλο , έστω

.

Για να πετύχω την πιο μικρή τιμή του

αρκεί το

να στηθεί στο

.

Τότε $SC \cdot SA = 2R \cdot SM \Leftrightarrow \boxed{25 = 2R\sqrt {25 - \frac{{{b^2}}}{4}} }$ . Έτσι

Αν b = 6

, έχω: $\boxed{{R_{\min }} = \frac{{25}}{8}}$ , ενώ αν b = 8

έχω: $\boxed{{R_{\min }} = \frac{{25}}{6}}$ .

Περιακτίνα

Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Μέλη σε σύνδεση