Διχοτομικά φαινόμενα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διχοτομικά φαινόμενα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 05, 2021 10:41 am

Διχοτομικά  φαινόμενα.png
Διχοτομικά φαινόμενα.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC το M είναι το μέσο της AB και το N το μέσο του ύψους AT .

Το ημικύκλιο διαμέτρου AC τέμνει το τμήμα MN στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι η CS είναι διχοτόμος της \hat{C} .

β) Αν : AB=12 , AC=5 , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{MS}{SN} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 05, 2021 11:52 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 10:41 am
Διχοτομικά φαινόμενα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC το M είναι το μέσο της AB και το N το μέσο του ύψους AT .

Το ημικύκλιο διαμέτρου AC τέμνει το τμήμα MN στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι η CS είναι διχοτόμος της \hat{C} .

β) Αν : AB=12 , AC=5 , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{MS}{SN} .
Ας δούμε το α) που το βρήκα πολύ απλό ;
Διχοτομικά φαινόμενα _a.png
Διχοτομικά φαινόμενα _a.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
H MN είναι μεσοκάθετος στο AT και άρα τοS είναι το μέσο του αντιστοίχου τόξου δηλαδή η CS διχοτομεί την \widehat {ACT}

β)A{B^2} = BC \cdot BT \Rightarrow \boxed{TB = \frac{{144}}{{13}} \Rightarrow MN = \frac{{72}}{{13}}} . Έστω MS = x θα έχω:

M{A^2} = x(x + 5) \Rightarrow {x^2} + 5x - 36 = 0 \Rightarrow x = 4 και άρα \boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}}
Διχοτομικά φαινόμενα _b.png
Διχοτομικά φαινόμενα _b.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Φεβ 05, 2021 12:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 05, 2021 12:26 pm

Διχοτομικά  φαινόμενα.png
Διχοτομικά φαινόμενα.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές
Τώρα φανερώθηκε το μυστικό :oops: α) Να δειχθεί ότι η CS είναι διχοτόμος της \widehat{NCM} .


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Φεβ 05, 2021 12:32 pm

Απάντηση μόνο για το β.

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& MN^2 = AN^2 + AM^2 = 2.5^2 + 6^2 \rightarrow MN = 6.5 \cr 
& {MS \over SN} = {MN-SN \over SN} = {MN \over SN} -1 = {6.5 \over 2.5} -1 = 1.6 \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_1pheno07.png
rsz_1pheno07.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 05, 2021 12:36 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 12:26 pm
Διχοτομικά φαινόμενα.pngΤώρα φανερώθηκε το μυστικό :oops: α) Να δειχθεί ότι η CS είναι διχοτόμος της \widehat{NCM} .
Διχοτομικά φαινόμενα _c.png
Διχοτομικά φαινόμενα _c.png (28.56 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές
Προφανώς αφού η ευθεία CM είναι συμμετροδιάμεσος στο \vartriangle ATC


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 05, 2021 5:51 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 10:41 am
Διχοτομικά φαινόμενα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC το M είναι το μέσο της AB και το N το μέσο του ύψους AT .

Το ημικύκλιο διαμέτρου AC τέμνει το τμήμα MN στο σημείο S .

β) Αν : AB=12 , AC=5 , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{MS}{SN} .
Για το β). Είναι BC=13 και \displaystyle \frac{1}{2}13AT = (ABC) = \frac{{5 \cdot 12}}{2} \Leftrightarrow AT = \frac{{60}}{{13}}.
Διχοτομικά φαινόμενα.png
Διχοτομικά φαινόμενα.png (17.86 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
\displaystyle M{N^2} = 36 - {\left( {\frac{{30}}{{13}}} \right)^2} \Leftrightarrow \boxed{MN = \frac{{72}}{{13}}} (1) Επίσης, \displaystyle M{A^2} = MS \cdot MP \Leftrightarrow

\displaystyle 36 = MS(MS + SP) \Leftrightarrow M{S^2} + 5MS - 36 = 0 \Leftrightarrow MS = 4\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}}


Σχεδόν ίδια λύση με τον Νίκο Φραγκάκη, αλλά όπως ήταν το σχήμα (ανάποδα από το δικό μου) δεν το κατάλαβα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 05, 2021 6:20 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 12:26 pm
Διχοτομικά φαινόμενα.pngΤώρα φανερώθηκε το μυστικό :oops: α) Να δειχθεί ότι η CS είναι διχοτόμος της \widehat{NCM} .
Αρκεί να δείξω ότι \omega= \varphi.
Διχοτομικά φαινόμενα.β.png
Διχοτομικά φαινόμενα.β.png (17.63 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
Είναι \displaystyle bc = aAT \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AT}} = \frac{{BC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{MB}} κι επειδή \displaystyle C\widehat AN = C\widehat BM, τα τρίγωνα CAN, CBM

είναι όμοια και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 5:51 pm

\boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}} . Σχεδόν ίδια λύση με τον Νίκο Φραγκάκη,

αλλά όπως ήταν το σχήμα (ανάποδα από το δικό μου) δεν το κατάλαβα.
Γιώργο επίσης δεν κατάλαβες , όπως και ο Νίκος , ότι ο ζητούμενος λόγος ήταν ο \boxed{\frac{{MS}}{{SN}} = \frac{{13}}{{5}}} :lol:


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Φεβ 05, 2021 10:10 pm

Ζητώ συγνώμη διότι προηγουμένως την άσκηση την έλυσα κάνοντας λάθος στο σχήμα,
έτσι επανέρχομαι.

Εύκολα βλέπω ότι το S διχοτομεί το τόξο AT και ότι SA διχοτομεί την \angle BAT.
Υπολογίζω διαδοχικά

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& MD^2 = 6^2 +2.5^2 \rightarrow MD=6.5 \cr 
& NA \cdot MD = DA \cdot MA \rightarrow NA = {2.5 \cdot 6 \over 6.5} = {30 \over 13} \cr 
& {MS \over SN} = {MA \over NA} = {13 \over 5} \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_dixo11.png
rsz_dixo11.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτομικά φαινόμενα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 05, 2021 11:53 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 7:23 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 5:51 pm

\boxed{\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{13}}{{18}}} . Σχεδόν ίδια λύση με τον Νίκο Φραγκάκη,

αλλά όπως ήταν το σχήμα (ανάποδα από το δικό μου) δεν το κατάλαβα.
Γιώργο επίσης δεν κατάλαβες , όπως και ο Νίκος , ότι ο ζητούμενος λόγος ήταν ο \boxed{\frac{{MS}}{{SN}} = \frac{{13}}{{5}}} :lol:
Μπορεί να μην απαντήσαμε στο σωστό ερώτημα, απαντήσαμε όμως σωστά στο λάθος ερώτημα :yes3:


ΥΓ. Απ' ότι βλέπω εκ των υστέρων, στις τρεις αρχικές αναρτήσεις, κανείς δεν απάντησε στο σωστό ερώτημα ;)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης