Μέγιστο εμβαδόν 41

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 41

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 02, 2021 8:27 am

Μέγιστο εμβαδόν  13.png
Μέγιστο εμβαδόν 13.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι AB=6 , AC=8 . Σημείο  S κινείται στην υποτείνουσα BC .

Η AS τέμνει την διχοτόμο της γωνίας \hat{C} στο σημείο T . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TBS.

Προαιρετικά επινοήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το (BTS) καθώς το S κινείται από το B στο C .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 41

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 02, 2021 10:06 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 02, 2021 8:27 am
Μέγιστο εμβαδόν 13.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , είναι AB=6 , AC=8 . Σημείο  S κινείται στην υποτείνουσα BC .

Η AS τέμνει την διχοτόμο της γωνίας \hat{C} στο σημείο T . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TBS.

Προαιρετικά επινοήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το (BTS) καθώς το S κινείται από το B στο C .
Θέτω BS=x, 0<x<10, και φέρνω τα ύψη AE=h, TK=y των τριγώνων ABC, BTS

αντίστοιχα. Εύκολα βρίσκω ότι \displaystyle h = \frac{{24}}{5} και στη συνέχεια \displaystyle \frac{{ST}}{{TA}} = \frac{y}{h} \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{24ST}}{{5AS}}} (1)
Μέγιστο εμβαδόν 41.png
Μέγιστο εμβαδόν 41.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Μενέλαος στο ABS με διατέμνουσα \displaystyle \overline {CTD}, \displaystyle \frac{{ST}}{{TA}} \cdot \frac{{AD}}{{DB}} \cdot \frac{{BC}}{{CS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{TA}} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{{10}}{{10 - x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{TA}} = \frac{{50 - 5x}}{{40}},

απ' όπου \displaystyle \frac{{ST}}{{AS}} = \frac{{10 - x}}{{18 - x}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} y = \frac{{24(10 - x)}}{{5(18 - x)}}, άρα η συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν του BTS

καθώς το S κινείται από το B στο C είναι \boxed{f(x) =  = \frac{{12x(10 - x)}}{{5(18 - x)}},0 < x < 10}

\displaystyle f'(x) = \frac{{12}}{5} \cdot \frac{{(x - 30)(x - 6)}}{{{{(18 - x)}^2}}}, άρα για \boxed{BS=x=6} έχουμε μέγιστο \boxed{{(BTS)_{\max }} = \frac{{24}}{5}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 41

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 02, 2021 12:09 pm

Μέγιστο εμβαδόν 41_1.png
Μέγιστο εμβαδόν 41_1.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Έστω το ύψος AH του \vartriangle ABC και το ύψος TK = h του \vartriangle TBS. Θέτω SC = x \Rightarrow BS = u = 10 - x

Επειδή, \left( {ABC} \right) = 6 \cdot 8 = 10AH \Rightarrow \boxed{AH = \frac{{24}}{5}}. Από το Θ. διχοτόμου στου \vartriangle ASC έχω:

\dfrac{{AT}}{{TS}} = \dfrac{{CA}}{{CS}} = \dfrac{8}{x} \Rightarrow h = \dfrac{{24x}}{{5(8 + x)}} και άρα : \boxed{\left( {TBS} \right) = f(x) = \dfrac{{12x\left( {10 - x} \right)}}{{5\left( {8 + x} \right)}}}

Παρουσιάζει για x = 4 το \boxed{f(4) = \dfrac{{24}}{5}}.

Δεν μ αρέσει η συνάρτηση που βρήκα αλλά κάνει τη δουλειά της.

Σπαζοκεφάλιασα να βρω κάτι πιο κομψό αλλά τελικά απ ότι βλέπω και ο Γιώργος μια από τα ίδια είναι


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης