Πειράματα των 60

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12544
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πειράματα των 60

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 31, 2021 1:09 pm

Πειράματα  στα  60.png
Πειράματα στα 60.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Πάνω στην διχοτόμο της γωνίας \widehat{xOy}=60^0 , θεωρούμε σταθερό σημείο S , από το οποίο

διέρχεται μεταβλητή ευθεία , η οποία τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία A και B .

Οι κάθετες των Ox , Oy στα A , B , τέμνουν τις Oy , Ox , στα σημεία  C , D αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι η CD διέρχεται επίσης από σταθερό σημείο . β) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{AB}{CD}

γ) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής T των AC , BD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πειράματα των 60

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 01, 2021 9:44 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 31, 2021 1:09 pm
Πειράματα στα 60.pngΠάνω στην διχοτόμο της γωνίας \widehat{xOy}=60^0 , θεωρούμε σταθερό σημείο S , από το οποίο

διέρχεται μεταβλητή ευθεία , η οποία τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία A και B .

Οι κάθετες των Ox , Oy στα A , B , τέμνουν τις Oy , Ox , στα σημεία  C , D αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι η CD διέρχεται επίσης από σταθερό σημείο . β) Βρείτε τον λόγο : \dfrac{AB}{CD}

γ) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής T των AC , BD .
Πειράματα των 60_1_2.png
Πειράματα των 60_1_2.png (26.73 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Ας είναι P,Q τα σημεία τομής της OT με τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD η τετράδα ,\left( {P,Q\backslash O,T} \right) είναι αρμονική . Έστω ακόμα {F_2} το σημείο τομής της διχοτόμου με την CD

α)Όταν το T είναι σημείο της σταθερής διχοτόμου , αυτό θα είναι το βαρύκεντρο, G, του ισοπλεύρου τριγώνου ODC.

Αν λοιπόν OS = 3k ( σταθερό) , θα είναι λόγω της αρμονικής τετράδας , \left( {S,{F_2}\backslash O,G} \right),

\boxed{O'S = k\,\,,\,\,SG = k\,\,,\,\,G{F_2} = 2k}. Δηλαδή το {F_2} είναι σταθερό : \boxed{OS = S{F_2} = 3k}

β) Προφανώς \boxed{\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{OS}}{{O{F_2}}} = \frac{1}{2}}, αφού \vartriangle OAB \approx \vartriangle OCD

γ) εδώ δεν έχω τεκμηρίωση αλλά αν {F_1} το συμμετρικό του O' , ως προς το O ,

το T ανήκει σε τμήμα υπερβολής με κορυφές τα G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O με εστίες τα {F_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{F_2}.

Δηλαδή : \boxed{|T{F_1} - T{F_2}| = 4k} .

Θα προσπαθήσω με αναλυτική γεωμετρία για τεκμηρίωση .
Πειράματα των 60_3_σχήμα.png
Πειράματα των 60_3_σχήμα.png (23.6 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Στο σχήμα είναι το τόξο KL της υπερβολής.

Και η πλήρης τεκμηρίωση του γ ερωτήματος .

Θεωρώ ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με άξονα τετμημένων την ευθεία της διχοτόμου.
Πειράματα των 60_3ο ερώτημα.png
Πειράματα των 60_3ο ερώτημα.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές
Ας είναι A\left( {a,\dfrac{{ - \sqrt 3 }}3a}} \right)\,\,,\,\,a > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {b,\dfrac{{\sqrt 3 }}3b}} \right),\,\,b > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {3k,0} \right)\,,\,k > 0 και k σταθερό Επειδή τα σημεία A,S,B ανήκουν στην ίδια ευθεία θα ισχύει:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
  a&{\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 3 }}}&1 \\  
  {3k}&0&1 \\  
  b&{\dfrac{b}{{\sqrt 3 }}}&1  
\end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \boxed{\left( {a + b} \right)3k - 2ab = 0}\,\,\left( 1 \right).

Οι ευθείες BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC έχουν εξισώσεις:

\left\{ \begin{gathered} 
  y - \frac{b}{{\sqrt 3 }} =  - \sqrt 3 \left( {x - b} \right) \hfill \\ 
  y + \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \left( {x - a} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\sqrt 3 x - y} \right) \hfill \\ 
  b = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\sqrt 3 x + y} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. κι έτσι η \left( 1 \right) δίδει :

3{x^2} - 12kx - {y^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{{{\left( {x - 2k} \right)}^2}}}{{{{\left( {2k} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {2\sqrt 3 k} \right)}^2}}} = 1} .

Το τμήμα της υπερβολής αυτής που βρίσκεται εντός της γωνίας των ημιευθειών :

\boxed{y = \frac{x}{{ - \sqrt 3 }}\,\,,\,\,x > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \frac{x}{{\sqrt 3 }}\,\,,\,\,x > 0} είναι ο ζητούμενος τόπος .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης