Τετράγωνο και ισοσκελές

#1

: Τετράγωνο και ισοσκελές.png (6.46 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

Το

είναι τετράγωνο πλευράς

Με βάση την σταθερή πλευρά AB=a

κατασκευάζω έξω από το τετράγωνο

ισοσκελές τρίγωνο EAB

όπου οι ίσες πλευρές έχουν μεταβλητό μήκος

και έστω

το σημείο τομής των AB, DE.

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου EAD

είναι σταθερό ανεξάρτητο του

β) Αν $\displaystyle \frac{{(AKD)}}{{(EKB)}} = \frac{1}{3},$ να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων AK=x

και

συναρτήσει του

καθώς και την $\displaystyle \tan (K\widehat EB).$

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 25, 2021 7:44 pm
Τετράγωνο και ισοσκελές.png
Το είναι τετράγωνο πλευράς Με βάση την σταθερή πλευρά κατασκευάζω έξω από το τετράγωνο

ισοσκελές τρίγωνο όπου οι ίσες πλευρές έχουν μεταβλητό μήκος και έστω το σημείο τομής των

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό ανεξάρτητο του

β) Αν $\displaystyle \frac{{(AKD)}}{{(EKB)}} = \frac{1}{3},$ να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων και συναρτήσει του καθώς και την $\displaystyle \tan (K\widehat EB).$

α)

$EL=\upsilon ,AL=\dfrac{a}{2},(EAD)=\dfrac{1}{2}a.(AL)\Rightarrow (EAD)=\dfrac{a^{2}}{4}$

β)

$(EKB)=3(AKD)\Leftrightarrow (KB).\upsilon =x.a\Leftrightarrow x(3a+\upsilon )=a\upsilon ,(1),$

Από τα όμοια τρίγωνα

$KLE,AKD,\dfrac{KL}{x}=\dfrac{\upsilon }{a}\Leftrightarrow 2(a+\upsilon ).x=a^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow 2\upsilon ^{2}+a\upsilon -3a^{2}=0\Rightarrow \upsilon =a,x=\dfrac{a^{2}}{4a}\Rightarrow x=\dfrac{a}{4},b=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}, tan(\hat{KEB})=tan(DEI+IEB),(*), tan\hat{DEI}=\dfrac{a}{2(a+\upsilon )}=\dfrac{1}{4} , tan\hat{IEB}=\dfrac{a}{2\upsilon }=\dfrac{1}{2}, (*)\Rightarrow tan(\hat{KEB})=\dfrac{6}{7}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 25, 2021 7:44 pm
Τετράγωνο και ισοσκελές.png
Το είναι τετράγωνο πλευράς Με βάση την σταθερή πλευρά κατασκευάζω έξω από το τετράγωνο

ισοσκελές τρίγωνο όπου οι ίσες πλευρές έχουν μεταβλητό μήκος και έστω το σημείο τομής των

α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι σταθερό ανεξάρτητο του

β) Αν $\displaystyle \frac{{(AKD)}}{{(EKB)}} = \frac{1}{3},$ να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων και συναρτήσει του καθώς και την $\displaystyle \tan (K\widehat EB).$

Επειδή $DA//EM \Rightarrow (EDA)=(DMA)= \dfrac{a^2}{4}$ συνεπώς ο υπολογισμός των x,b

συναρτήσει

του

εξαρτάται μόνο από την $\dfrac{(DKA)}{(EKC)} = \dfrac{1}{3}$

Κατασκευάζοντας λοιπόν το ισοσκελές τρίγωνο EDC

με ύψος

το

είναι παραλ/μμο

άρα DK=KM

και προφανώς (EKC)=3(EKM)=3(ADK)

Έτσι,ικανοποιούνται όλα τα δεδομένα του προβλήματος οπότε $x= \dfrac{a}{4}$ και με Π.Θ $b= \dfrac{a \sqrt{5} }{2}$

$tan \angle KEB=tan2 \theta = \dfrac{2tan \theta }{1-tan^2 \theta }$ και με $tan \theta = \dfrac{1}{4} \Rightarrow tan \angle KEB= \dfrac{8}{15}$

(βρέθηκε ,λόγω αλλαγής θέσης του

που έγινε λάθος εξ αρχής )

Για την $tan \angle KEC=tan( \theta + \angle MEC)$ επειδή $tan \theta = \dfrac{1}{4} ,tan \angle MEC= \dfrac{1}{2} \Rightarrow tanKEC= \dfrac{6}{7}$

(το γεγονός ότι EM=a

επιβεβαιώνεται και μέσω υπολογισμών)

υπολογισμός του

$AD//EM \Rightarrow \dfrac{x}{ \dfrac{a}{2} -x} = \dfrac{a}{h} \Rightarrow x= \dfrac{a^2}{2(a+h)}$ και $(EKC)=3(ADK) \Leftrightarrow (a-x)h=3ax \Rightarrow x= \dfrac{ah}{3a+h}$

Εξισώνοντας καταλήγουμε στην 2h^2+ah-3a^2=0

με δεκτή ρίζα h=a

: τετράγωνο και ισοσκελές.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

#4

α)Το τρίγωνο AED

έχει βάση σταθερή ίση με την πλευρά του τετραγώνου και ύψος προς αυτή το μισό της πλευράς ,

άρα εμβαδόν το ένα τέταρτο του εμβαδού του τετραγώνου.

: τετράγωνο και ισοσκελές_1.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

β) Αν $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ , η από το

παράλληλη στην

συναντά την

στο

.

Το τετράπλευρο ADNE

είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει η προδιαγραφή της υπόθεσης .

Προφανώς $\boxed{AK = \frac{1}{4}a}$ . Π. Θ. στο $\vartriangle ENB$ , $\boxed{EB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}}$

$\tan \omega = \dfrac{1}{4}\,\,,\,\,\tan \theta = \dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tan \left( {\omega + \theta } \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{6}{7}$ που είναι η εφαπτομένη που θέλω.

Τετράγωνο και ισοσκελές

Τετράγωνο και ισοσκελές

Re: Τετράγωνο και ισοσκελές

Re: Τετράγωνο και ισοσκελές

Re: Τετράγωνο και ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση