Συνέχεια καθετότητας

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7809
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Συνέχεια καθετότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am

Καθετότητα  με συνέχεια_καθετότητα.png
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10206
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνέχεια καθετότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 24, 2021 1:09 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.
Έστω ότι η SE τέμνει την AC στο M. Σύμφωνα με την άσκηση της παραπομπής το M είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου SAB, άρα ο περίκυκλος του SDC έχει διάμετρο την SM και έστω ότι τέμνει την ST στο N.
Συνέχεια καθετότητας.png
Συνέχεια καθετότητας.png (26.16 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
\displaystyle TN \cdot TS = TC \cdot TD = TE \cdot TO.

Άρα το ENSO είναι εγγράψιμο και \displaystyle S\widehat NO = S\widehat EO = 90^\circ  = S\widehat NM, οπότε τα O, M, N είναι συνευθειακά

και κατά συνέπεια το M είναι ορθόκεντρο και του SOT. Επειδή όμως, MF \bot OS θα είναι και \boxed{TF \bot OS}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1976
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνέχεια καθετότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 24, 2021 4:13 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

Αν K το σημείο τομής των διαγωνίων AC,BD ,λόγω του εγγράψιμου SDKC ,θα είναι σημείο του κύκλου (S,D,C)

K είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SAB άρα SK \bot AB .Επειδή όμως οι μπλε γωνίες είναι ίσες,το

SDEB είναι εγγράψιμμο ,άρα SE \bot AB ,συνεπώς S,K,E συνευθειακά και SE \bot AB

Α ν Q είναι το σημείο τομής του κύκλου (C,D,S) με ST ,αυτό είναι το σημείο Miquel για το πλήρες

τετράπλευροABCDST ,κι όπως είναι γνωστό τα O,K,Q είναι συνευθειακά και OKQ \bot ST

Τότε, K είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SOT άρα TK \bot OS .Όμως SK εςίναι διάμετρος

του κύκλου (S,D,C) ,άρα και KF \bot OS.Επομένως T,K,F συνευθειακά και TF \bot OS
καθετότητα.png
καθετότητα.png (47.02 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2012
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συνέχεια καθετότητας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιαν 24, 2021 9:12 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.
Καλησπέρα απο τη παραπομπη στο θέμα Καθετότητα με συνέχεια είναι SE\perp AB

Οπότε το σημείο I είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASB

IG\perp ST,IE\perp ET και απο τα εγράψιμα τετράπλευρα

DSGC,DCEO,TG.TS=TC.TD,(1), TC.TD=TE.TO,(2), 

(1),(2)\Rightarrow TG.TS=TE.TO\Leftrightarrow \dfrac{TG}{TE}=\dfrac{OT}{TS}

και απο Stathis Koutras' theorem IT\perp OS
Συνημμένα
Συνέχεια καθετότητας.png
Συνέχεια καθετότητας.png (89.95 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες