Συνέχεια καθετότητας

#1

: Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

.

Κύκλος διέρχεται από το

και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την

στο

.

Ας είναι :

το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ ,

το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ ,

το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( {S,D,C} \right)$ με την

.

Δείξετε ότι $OS \bot FT$

Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Ας είναι : το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ , το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ , το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( {S,D,C} \right)$ με την .

Δείξετε ότι $OS \bot FT$

Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

Έστω ότι η

τέμνει την

στο

Σύμφωνα με την άσκηση της παραπομπής το

είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου SAB,

άρα ο περίκυκλος του SDC

έχει διάμετρο την

και έστω ότι τέμνει την

στο

: Συνέχεια καθετότητας.png (26.16 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

$\displaystyle TN \cdot TS = TC \cdot TD = TE \cdot TO.$

Άρα το ENSO

είναι εγγράψιμο και $\displaystyle S\widehat NO = S\widehat EO = 90^\circ = S\widehat NM,$ οπότε τα O, M, N

είναι συνευθειακά

και κατά συνέπεια το

είναι ορθόκεντρο και του SOT.

Επειδή όμως, $MF \bot OS$ θα είναι και $\boxed{TF \bot OS}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Ας είναι : το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ , το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ , το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( {S,D,C} \right)$ με την .

Δείξετε ότι $OS \bot FT$

Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

Αν

το σημείο τομής των διαγωνίων AC,BD

,λόγω του εγγράψιμου SDKC

,θα είναι σημείο του κύκλου (S,D,C)

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SAB

άρα $SK \bot AB$ .Επειδή όμως οι μπλε γωνίες είναι ίσες,το

SDEB

είναι εγγράψιμμο ,άρα $SE \bot AB$ ,συνεπώς S,K,E

συνευθειακά και $SE \bot AB$

Α ν

είναι το σημείο τομής του κύκλου (C,D,S)

με

,αυτό είναι το σημείο Miquel για το πλήρες

τετράπλευρο ABCDST

,κι όπως είναι γνωστό τα O,K,Q

είναι συνευθειακά και $OKQ \bot ST$

Τότε,

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SOT

άρα $TK \bot OS$ .Όμως

εςίναι διάμετρος

του κύκλου (S,D,C)

,άρα και $KF \bot OS$ .Επομένως T,K,F

συνευθειακά και $TF \bot OS$

: καθετότητα.png (47.02 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Ας είναι : το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ , το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ , το άλλο σημείο τομής του κύκλου $\left( {S,D,C} \right)$ με την .

Δείξετε ότι $OS \bot FT$

Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

Καλησπέρα απο τη παραπομπη στο θέμα Καθετότητα με συνέχεια είναι $SE\perp AB$

Οπότε το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASB

$IG\perp ST,IE\perp ET$ και απο τα εγράψιμα τετράπλευρα

$DSGC,DCEO,TG.TS=TC.TD,(1), TC.TD=TE.TO,(2), (1),(2)\Rightarrow TG.TS=TE.TO\Leftrightarrow \dfrac{TG}{TE}=\dfrac{OT}{TS}$

και απο Stathis Koutras' theorem

$IT\perp OS$

Συνέχεια καθετότητας

Συνέχεια καθετότητας

Re: Συνέχεια καθετότητας

Re: Συνέχεια καθετότητας

Re: Συνέχεια καθετότητας

Μέλη σε σύνδεση