Σελίδα 1 από 1

Συνέχεια καθετότητας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
από Doloros
Καθετότητα  με συνέχεια_καθετότητα.png
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές
Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

Re: Συνέχεια καθετότητας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 24, 2021 1:09 pm
από george visvikis
Doloros έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.
Έστω ότι η SE τέμνει την AC στο M. Σύμφωνα με την άσκηση της παραπομπής το M είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου SAB, άρα ο περίκυκλος του SDC έχει διάμετρο την SM και έστω ότι τέμνει την ST στο N.
Συνέχεια καθετότητας.png
Συνέχεια καθετότητας.png (26.16 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
\displaystyle TN \cdot TS = TC \cdot TD = TE \cdot TO.

Άρα το ENSO είναι εγγράψιμο και \displaystyle S\widehat NO = S\widehat EO = 90^\circ  = S\widehat NM, οπότε τα O, M, N είναι συνευθειακά

και κατά συνέπεια το M είναι ορθόκεντρο και του SOT. Επειδή όμως, MF \bot OS θα είναι και \boxed{TF \bot OS}

Re: Συνέχεια καθετότητας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 24, 2021 4:13 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Doloros έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.

Αν K το σημείο τομής των διαγωνίων AC,BD ,λόγω του εγγράψιμου SDKC ,θα είναι σημείο του κύκλου (S,D,C)

K είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SAB άρα SK \bot AB .Επειδή όμως οι μπλε γωνίες είναι ίσες,το

SDEB είναι εγγράψιμμο ,άρα SE \bot AB ,συνεπώς S,K,E συνευθειακά και SE \bot AB

Α ν Q είναι το σημείο τομής του κύκλου (C,D,S) με ST ,αυτό είναι το σημείο Miquel για το πλήρες

τετράπλευροABCDST ,κι όπως είναι γνωστό τα O,K,Q είναι συνευθειακά και OKQ \bot ST

Τότε, K είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SOT άρα TK \bot OS .Όμως SK εςίναι διάμετρος

του κύκλου (S,D,C) ,άρα και KF \bot OS.Επομένως T,K,F συνευθειακά και TF \bot OS
καθετότητα.png
καθετότητα.png (47.02 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Re: Συνέχεια καθετότητας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 24, 2021 9:12 pm
από STOPJOHN
Doloros έγραψε:
Κυρ Ιαν 24, 2021 11:14 am
Καθετότητα με συνέχεια_καθετότητα.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και κέντρου O.

Κύκλος διέρχεται από το O και δύο διακεκριμένα σημεία C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την AB στο E.

Ας είναι : S το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC, T το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, F το άλλο σημείο τομής του κύκλου \left( {S,D,C} \right) με την OS.

Δείξετε ότι OS \bot FT


Είναι η συνέχεια της άσκησης αυτής

Θερμή παράκληση:

Ει δυνατόν οι απαντήσεις να συνοδεύονται με σχήμα και αραιό γράψιμο για να μπορούμε εμείς οι πιο μεγάλοι να σας διαβάζουμε.
Καλησπέρα απο τη παραπομπη στο θέμα Καθετότητα με συνέχεια είναι SE\perp AB

Οπότε το σημείο I είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASB

IG\perp ST,IE\perp ET και απο τα εγράψιμα τετράπλευρα

DSGC,DCEO,TG.TS=TC.TD,(1), TC.TD=TE.TO,(2), 

(1),(2)\Rightarrow TG.TS=TE.TO\Leftrightarrow \dfrac{TG}{TE}=\dfrac{OT}{TS}

και απο Stathis Koutras' theorem IT\perp OS