Τα εντελώς απαραίτητα

KARKAR · #1

: Τα εντελώς απαραίτητα.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

Υπολογίστε το

. Αν ξαναμπείτε στο θέμα θα βρείτε κι άλλες λύσεις . Μπορείτε κι εσείς την δεύτερη !

Manolis Petrakis · #2

Η

είναι αρμονική τετράδα από το πλήρες τετράπλευρο AZTE.BC

Έτσι $\dfrac{BS}{BD}=\dfrac{CS}{CD}\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{9+x}{7}\Leftrightarrow x=\dfrac{18}{5}$

Manolis Petrakis · #3

Χωρίς αρμονικότητα
Με Ceva

στο

είναι $\dfrac{2}{7}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BZ}{ZA} \ (1)$
Με Μενέλαο στο ABC

με διατέμνουσα EZS

παίρνουμε $\dfrac{x}{9+x}=\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BZ}{ZA} \ (2)$
Από τις (1),(2)

είναι $x=\dfrac{18}{5}$

#4

Παραλλαγή της πρώτης του Μανώλη

: Τα εντελώς απαραίτητα_2.png (23.35 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

, στο σημείο

.

$B{H^2} = BS \cdot BD = 2x\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} \hfill \\ \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η πρώτη γιατί έχουν κάθετες πλευρές και η άλλη λόγω της αρμονικής τετράδας : $\left( {S,D\backslash B,C} \right)$ .

Συνεπώς : $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}}$ και άρα το τμήμα

είναι εφαπτόμενο του ημικυκλίου .

Θα έχουμε έτσι : $\left\{ \begin{gathered} H{C^2} = B{H^2} + B{C^2} \hfill \\ H{C^2} = CD \cdot CS \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B{H^2} + B{C^2} = CD \cdot CS$ που λόγω της $\left( 1 \right)$

Δίδει: $2x + 81 = 7\left( {x + 9} \right) \Rightarrow \boxed{x = \frac{{18}}{5}}$

Τα εντελώς απαραίτητα

Τα εντελώς απαραίτητα

Re: Τα εντελώς απαραίτητα

Re: Τα εντελώς απαραίτητα

Re: Τα εντελώς απαραίτητα

Μέλη σε σύνδεση