Μεγάλες κατασκευές 49

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 49

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 20, 2021 12:25 pm

Μεγάλες  κατασκευές  49.png
Μεγάλες κατασκευές 49.png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Με βάση την χορδή BC ενός κύκλου , κατασκευάστε τρίγωνο ABC , τέτοιο ώστε , η μεν AB

να εφάπτεται του κύκλου , η δε AC να τέμνει τον κύκλο σε σημείο T , ώστε : TC=2AT .

Υπολογίστε και τον λόγο : \dfrac{BT^2}{BC^2} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 49

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 20, 2021 1:18 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 12:25 pm
Μεγάλες κατασκευές 49.pngΜε βάση την χορδή BC ενός κύκλου , κατασκευάστε τρίγωνο ABC , τέτοιο ώστε , η μεν AB

να εφάπτεται του κύκλου , η δε AC να τέμνει τον κύκλο σε σημείο T , ώστε : TC=2AT .

Υπολογίστε και τον λόγο : \dfrac{BT^2}{BC^2} .
μεγάσλες κατασκευές 49.png
μεγάσλες κατασκευές 49.png (16.84 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Επειδή AT \cdot AC = A{B^2} \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}.

Κατασκευή

Ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο M του οποίου : \boxed{\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}} τέμνει την εφαπτομένη στο A.

Ο λόγος \boxed{{{\left( {\frac{{BT}}{{BC}}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} = \frac{1}{3}}

( \vartriangle ABC \approx \vartriangle ATB)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 49

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 20, 2021 1:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 20, 2021 12:25 pm
Μεγάλες κατασκευές 49.pngΜε βάση την χορδή BC ενός κύκλου , κατασκευάστε τρίγωνο ABC , τέτοιο ώστε , η μεν AB

να εφάπτεται του κύκλου , η δε AC να τέμνει τον κύκλο σε σημείο T , ώστε : TC=2AT .

Υπολογίστε και τον λόγο : \dfrac{BT^2}{BC^2} .
Πρώτα θα υπολογίσω το λόγο. Είναι {c^2} = AT \cdot AC \Leftrightarrow \boxed{{c^2} = 3{x^2}} (1)
Μεγάλες κατασκευές.49.png
Μεγάλες κατασκευές.49.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Με \displaystyle {\rm{Stewart}} έχω, \displaystyle {a^2}x + {c^2}2x = B{T^2}3x + 6{x^3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{\frac{{B{T^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{3}}

Εύκολα τώρα εντοπίζουμε το σημείο T, άρα η κατασκευή είναι απλή.


Η κατασκευή βέβαια, του φίλτατου Νίκου, είναι η ενδεδειγμένη!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης