Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 19, 2021 2:57 pm

Μεγάλες  κατασκευές 47.png
Μεγάλες κατασκευές 47.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Με κάθετη πλευρά AC=b , κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC , ( \hat{A}=90^0 ) , τέτοιο ώστε ,

το ύψος AD , η διχοτόμος BE και η διάμεσος CD να συντρέχουν . Βρείτε τουλάχιστον την \tan\hat{C} .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τρί Ιαν 19, 2021 4:27 pm

Από το θεώρημα του Ceva είναι \dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1
Από το θ. διχοτόμων η παραπάνω σχέση γράφεται:
\dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1
\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{(ABD)}{(ACD)}=\dfrac{AB}{AC}\dfrac{\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{CAD}}=\tan\widehat{C}\tan\widehat{BAD}=\tan^2 \widehat {C}
\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AB^2}{AC^2} \Leftrightarrow AB \cdot BC=AC^2\ (1)
Έστω x=AC τότε BC=\sqrt{x^2+b^2}
Άρα η (1) γράφεται ισοδύναμα AB \cdot BC=AC^2\Leftrightarrow x\sqrt{x^2+b^2}=b^2
\Leftrightarrow x^4+x^2b^2-b^4=0
\Leftrightarrow x=b\sqrt{\dfrac{1}{\phi}} όπου η b είναι γνωστή άρα και το τρίγωνο κατασκευάσιμο
Τέλος \tan \widehat{C}=\dfrac{b}{x}=\sqrt{\phi}
*\phi=\dfrac{\sqrt 5 +1}{2}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 19, 2021 4:43 pm

Manolis Petrakis έγραψε:
Τρί Ιαν 19, 2021 4:27 pm
Από το θεώρημα του Ceva είναι \dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1
Από το θ. διχοτόμων η παραπάνω σχέση γράφεται:
\dfrac{BA}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DB}=1
\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{(ABD)}{(ACD)}=\dfrac{AB}{AC}\dfrac{\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{CAD}}=\tan\widehat{C}\tan\widehat{BAD}=\tan^2 \widehat {C}
\Leftrightarrow \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AB^2}{AC^2} \Leftrightarrow AB \cdot BC=AC^2\ (1)
Έστω x=AC τότε BC=\sqrt{x^2+b^2}
Άρα η (1) γράφεται ισοδύναμα AB \cdot BC=AC^2\Leftrightarrow x\sqrt{x^2+b^2}=b^2
\Leftrightarrow x^4+x^2b^2-b^4=0
\Leftrightarrow x=b\sqrt{\dfrac{1}{\phi}} όπου η b είναι γνωστή άρα και το τρίγωνο κατασκευάσιμο
Τέλος \tan \widehat{C}=\dfrac{b}{x}=\sqrt{\phi}
*\phi=\dfrac{\sqrt 5 +1}{2}
:clap2:

Αφήνω το σχήμα της κατασκευής
47_84_ok.png
47_84_ok.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο M του οποίου \boxed{\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi } τέμνει στο B την εις το A κάθετο επί την AC.


Ελάχιστα διαφορετικά :

\dfrac{{AE}}{{EC}} \cdot \dfrac{{CD}}{{DB}} \cdot \dfrac{{BM}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = ac . Αλλά {a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {a^2} = ac + {c^2} .

Αν a = cx προκύπτει : {x^2} - x - 1 = 0 κλπ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή 47 και εφαπτομένη 84

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 19, 2021 5:59 pm

Κατασκευή 47.png
Κατασκευή 47.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Κατασκευή: Με το σημείο E χωρίζω το τμήμα AC=b σε μέσο και άκρο λόγο. Η κάθετη από το E στην AC τέμνει

το ημικύκλιο διαμέτρου AC στο D. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο A και η CD τέμνονται στην τρίτη κορυφή B

του τριγώνου και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Υπολογισμός εφαπτομένης. Από \displaystyle {\rm{Van}} \displaystyle {\rm{Aubel}} έχω:
Κατασκευή 47β.png
Κατασκευή 47β.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{c}{{BD}} = 1 + \frac{c}{a} \Leftrightarrow \frac{c}{{{c^2}/a}} = 1 + \frac{c}{a} \Leftrightarrow {c^2} + ac - {a^2} = 0

Άρα, \displaystyle \sin C = \frac{c}{a} = \frac{1}{\Phi }, απ' όπου \boxed{\tan C = \frac{1}{{\sqrt \Phi  }}} ( από τον τύπο \displaystyle {\sin ^2}a = \frac{{{{\tan }^2}a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}).


Φυσικά είναι γραμμένα κάπως ανακόλουθα. Έχει προηγηθεί ο υπολογισμός και στη συνέχεια γίνεται η κατασκευή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης