Από σταθερό σημείο 4

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από σταθερό σημείο 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 11, 2021 8:13 pm

Από  σταθερό  σημείο 4.png
Από σταθερό σημείο 4.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές
Στο εσωτερικό σταθερού τμήματος AB κινείται σημείο S . Με βάσεις τα τμήματα AS , SB

σχεδιάζω τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : QAS , PBS  ,  με  : \hat{Q}=\hat{P} =\theta , ( \theta σταθερή ) .

Δείξτε ότι η κάθετη ευθεία από το S προς την PQ , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Διόρθωση : οι γωνίες των τριγώνων είναι σταθερού μεγέθους .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Ιαν 12, 2021 7:38 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από σταθερό σημείο 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 11, 2021 10:59 pm

Θανάση, είναι σίγουρα σωστό το αποτέλεσμα; Ίσως δεν βλέπω κάτι (που τέτοια ώρα είναι ... συνηθισμένο) αλλά δεν φαίνεται να αληθεύει, ακόμη και αν θεωρήσουμε to Q σταθερό. Δηλαδή η QSP είναι ακτίνα φωτός που ανακλάται στον καθρέφτη ΑΒ (και το P είναι όπου κόψει η ακτίνα την κάθετο στο B).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από σταθερό σημείο 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 12, 2021 9:08 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 11, 2021 8:13 pm
Από σταθερό σημείο 4.pngΣτο εσωτερικό σταθερού τμήματος AB κινείται σημείο S . Με βάσεις τα τμήματα AS , SB

σχεδιάζω τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : QAS , PBS  ,  με  : \hat{Q}=\hat{P} =\theta , ( \theta σταθερή ) .

Δείξτε ότι η κάθετη ευθεία από το S προς την PQ , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Διόρθωση : οι γωνίες των τριγώνων είναι σταθερού μεγέθους .
Υπάρχει ωραία γεωμετρική λύση αλλά θα δώσω μία με Αναλυτική γιατί "δεν έχει τίποτα να σκεφτούμε".

Με αρχή των αξόνων το μέσον του AB είναι A(-a,0), \, B(a,0) και έστω S(s,0) τυχαίο σημείο της AB. Επειδή η κλίση της PS είναι σταθερή, έστω m, οι εξισώσεις των SP,\,SQ είναι y=m(x-s),\, y=-m(x-s). Άρα η τομές τους με τις PB,\, QA είναι P(a,m(a-s)),\, Q(-a,m(a+s)), οπότε η κλίση της PQ είναι

\dfrac { m(a-s)-m(a+s)  }{a-(-a)} =- \dfrac {ms}{a} και άρα η εξίσωση της κάθετης από το S στην PQ είναι

y= \dfrac {a}{ms}(x-s). Tέμνει στον άξονα των y στο (0,-\dfrac {a}{m})= σταθερό, ανεξάρτητο του s.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από σταθερό σημείο 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιαν 12, 2021 11:01 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 11, 2021 8:13 pm
Από σταθερό σημείο 4.pngΣτο εσωτερικό σταθερού τμήματος AB κινείται σημείο S . Με βάσεις τα τμήματα AS , SB

σχεδιάζω τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα : QAS , PBS  ,  με  : \hat{Q}=\hat{P} =\theta , ( \theta σταθερή ) .

Δείξτε ότι η κάθετη ευθεία από το S προς την PQ , διέρχεται από σταθερό σημείο .

Διόρθωση : οι γωνίες των τριγώνων είναι σταθερού μεγέθους .
Στο σχήμα του Θανάση.
Από εγράψιμμα είναι \angle ATS=\angle STB=\theta
Αρα η TS διχοτόμος της \angle ATB
Η TS τέμνει την μεσοκάθετο της AB στο R.
Αυτό είναι το σταθερό σημείο μιας και \angle BAR=\theta


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12739
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από σταθερό σημείο 4

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 12, 2021 12:24 pm

Από  σταθερό  σημείο 4.png
Από σταθερό σημείο 4.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Νότιος πόλος , λοιπόν !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10736
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από σταθερό σημείο 4

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 12, 2021 4:42 pm

Η πρώτη μου σκέψη ήταν η λύση του Σταύρου. Αλλάζω λοιπόν προσέγγιση.
σταθερό σημείο.4.png
σταθερό σημείο.4.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Φέρνω τη μεσοκάθετο του AB που τέμνει τις AB, PQ, ST στα M, N, R αντίστοιχα. Είναι:

\displaystyle \tan \theta  = \frac{{AS}}{{AQ}} = \frac{{SB}}{{BP}} = \frac{{AS + SB}}{{AQ + BP}} = \frac{{AB}}{{2MN}} = \frac{{2AM}}{{2MN}} = \frac{{AM}}{{MN}}

Άρα \displaystyle A\widehat NR = \theta . Είναι όμως \displaystyle A\widehat TR = A\widehat TS = \theta  \Rightarrow N\widehat AR = 90^\circ και \displaystyle MR \cdot MN = \frac{{A{B^2}}}{4}

Αλλά τα τμήματα AB, MN είναι σταθερά κατά θέση και μέγεθος, οπότε και το R είναι σταθερό σημείο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης