Σελίδα 1 από 1

Παραλληλία υπό συνθήκη

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Παραλληλία υπό συνθήκη.png
Παραλληλία υπό συνθήκη.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Έστω τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} με \displaystyle{\angle A = {120^0}}. Αν \displaystyle{D} η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου \displaystyle{ABDC} να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle ABC} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{DK} με \displaystyle{K \equiv BF \cap CE}, όπου \displaystyle{E,F} σημεία των πλευρών \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα για τα οποία ισχύει : \displaystyle{BE = CF}

Στάθης

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 13, 2021 12:29 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pm
Παραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} με \displaystyle{\angle A = {120^0}}. Αν \displaystyle{D} η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου \displaystyle{ABDC} να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle ABC} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{DK} με \displaystyle{K \equiv BF \cap CE}, όπου \displaystyle{E,F} σημεία των πλευρών \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα για τα οποία ισχύει : \displaystyle{BE = CF}

Στάθης
Μια και δεν απαντήθηκε...μία λύση με προβολική
Κουνάμε το E στην AB και από φέρνουμε την παράλληλη από αυτό στην BC, η οποία τέμνει την παράλληλη από το C στην AB έστω στο P.
Οπότε το F προκύπτει ως η τομή της κάθετης από το P στην διχοτόμο της \angle ACP η οποία είναι σταθερή, έτσι το F κινείται προβολικά(τα E,F στο ίδιο ημιεπίπεδο προς την BC). Έτσι BF\rightarrow CE προβολικότητα η οποία BC\rightarrow CB που σημαίνει ότι το K κινείται σε σταθερή ευθεία.
Αρκεί να δείξουμε πως αυτή η ευθεία είναι η παράλληλη από το D στην OG.
Όταν το E πάει στο άπειρο πάει και το F και έτσι K\equiv D, άρα μένει μία θέση.
Για E=A είναι CF=AB=CD. Θεωρούμε H το ορθόκεντρο του ABC. Είναι \angle BHC=\pi-2/3\pi=1/3\pi
Έτσι τα H,B,C,O είναι ομοκυκλικά που σημαίνει \angle OHC=\pi/6 και αν Cx\perp DK είναι απλό πως \angle HCx=\pi /3 έτσι DK,OG κάθετες στην ίδια ευθεία κλπ.

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 12:15 am
από rek2
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Ιαν 13, 2021 12:29 pm
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pm
Παραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} με \displaystyle{\angle A = {120^0}}. Αν \displaystyle{D} η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου \displaystyle{ABDC} να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle ABC} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{DK} με \displaystyle{K \equiv BF \cap CE}, όπου \displaystyle{E,F} σημεία των πλευρών \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα για τα οποία ισχύει : \displaystyle{BE = CF}

Στάθης
..

Έτσι BF\rightarrow CE προβολικότητα ...
....
Τι εννοείς με τον όρο προβολικοτητα ;

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:56 am
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
rek2 έγραψε:
Πέμ Ιαν 14, 2021 12:15 am
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Ιαν 13, 2021 12:29 pm
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pm
Παραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} με \displaystyle{\angle A = {120^0}}. Αν \displaystyle{D} η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου \displaystyle{ABDC} να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle ABC} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{DK} με \displaystyle{K \equiv BF \cap CE}, όπου \displaystyle{E,F} σημεία των πλευρών \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα για τα οποία ισχύει : \displaystyle{BE = CF}

Στάθης
..

Έτσι BF\rightarrow CE προβολικότητα ...
....
Τι εννοείς με τον όρο προβολικοτητα ;
Γεια σας,

Μπορείτε να δείτε εδώ όπου ο Μηνάς συν τοις άλλοις αναφέρει και τι είναι μία προβολικότητα.
Εδώ έχουμε πρώτα την μία προβολικότητα μεταξύ 2 σταθερών ευθειών (AB,AC) και μετά μεταξύ δύο δέσμεων (BF,CE) το οποίο σημαίνει π.χ ότι αν πάρω 4 θέσεις για το E τότε τα αντίστοιχα F θα ορίζουν ίσο διπλό λόγο με τα E και φυσικά το ίδιο με τις δέσμες BF,CE.
Μπορείτε επίσης να δείτε εδώ για ορισμούς και άλλα(προβολικότητα αναφέρεται ως projective map)

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 1:26 pm
από giannimani
Parallel_to_Euler1_001.png
Parallel_to_Euler1_001.png (58.53 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Έστω ότι η διχοτόμος της γωνίας BAC τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του \vartriangle ABC στο σημείο A_{2}.
Προφανώς τα σημεία M, O (περίκεντρο του \Omega) και A_{2} ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Εφόσον \displaystyle{\angle A = {120^0}}, τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο OMB, \angle OBM=30^{\circ}, οπότε OM =\frac{OB}{2}=\frac{R}{2}, όπου R η ακτίνα του \Omega.
Έστω M το μέσο της πλευράς BC, και G το κέντρο βάρος του \vartriangle ABC. Τότε,
\frac{MG}{MA}=\frac{MO}{MA_{2}}=\frac{1}{3}, επομένως GO \parallel AA_{2}, δηλαδή, η ευθεία Euler του τριγώνου ABC είναι παράλληλη της διχοτόμου
της γωνίας A του τριγώνου ABC.
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι DK \parallel AA_{2}, οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.
Έχουμε το εξής πρόβλημα:
Σε παραλληλόγραμμο ACDΒ, τα σημεία E και F είναι σημεία των πλευρών AB και AC αντίστοιχα,
ώστε BE= CF, Αν K το σημείο τομής των τμημάτων BF και CE, τότε η DK είναι η διχοτόμος της γωνίας D.

Έστω G=(BD)\cap (CE). Από την ομοιότητα των τριγώνων GBE και GDC έχουμε \frac{DG}{DC}=\frac{BG}{BE}\;(1).
Όμως, BE=CF (υπόθεση),
οπότε η (1) γίνεται \frac{DG}{DC}=\frac{BG}{BE}=\frac{BG}{CF}\;(2). Από την ομοιότητα των τριγώνων KBG και KFC έχουμε \frac{BG}{CF}=\frac{KG}{KF}\;(3).
Από τις παραπάνω προκύπτει ότι \frac{DG}{DC}=\frac{KG}{KC} (αντίστροφο Θ. διχοτόμου), οπότε η DK διχοτόμος της γωνίας D του παραλληλογράμμου ACDB.

Γνωρίζουμε όμως ότι οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ενός παραλληλογράμμου είναι παράλληλες.
Parallel_to_Euler2_001.png
Parallel_to_Euler2_001.png (20.88 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές

Re: Παραλληλία υπό συνθήκη

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιαν 14, 2021 10:42 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pm
Παραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} με \displaystyle{\angle A = {120^0}}. Αν \displaystyle{D} η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου \displaystyle{ABDC} να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle ABC} είναι παράλληλη προς την \displaystyle{DK} με \displaystyle{K \equiv BF \cap CE}, όπου \displaystyle{E,F} σημεία των πλευρών \displaystyle{AB,AC} αντίστοιχα για τα οποία ισχύει : \displaystyle{BE = CF}

Στάθης
Υπέροχη αντιμετώπιση από τον Γιάννη. Του Πρόδρομου δεν την καλοκαταλαβαίνω (βλέπεις τα κύτταρα γεράζουν και δεν είναι εύκολο να μαθαίνεις νέα πράγματα :? )

Το δικό μου σκεπτικό ήταν ότι η συνθήκη \displaystyle{\angle A = {120^0}} οδηγεί (από τον νόμο των συνημιτόνων ότι \displaystyle{{a^2} = {b^2} + {c^2} + bc} με τη βοήθεια της οποίας προκύπτει ότι οι ορθές προβολές της \displaystyle{OG} στις πλευρές \displaystyle{AB,AC}του τριγώνου είναι ίσες (από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων) οπότε \displaystyle{OG} είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας \displaystyle{\angle A} η οποία διχοτόμος είναι παράλληλη στην \displaystyle{KD} όπως πολύ όμορφα απέδειξε ο Γιάννης και έχει συζητηθεί και γενικότερα εδώ και από τον ΤΕΡΑΣΤΙΟ !!! Κώστα Βήττα