Παραλληλία υπό συνθήκη
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Παραλληλία υπό συνθήκη
Έστω τρίγωνο με . Αν η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου είναι παράλληλη προς την με , όπου σημεία των πλευρών αντίστοιχα για τα οποία ισχύει :
Στάθης
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Παραλληλία υπό συνθήκη
Μια και δεν απαντήθηκε...μία λύση με προβολικήΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pmΠαραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο με . Αν η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου είναι παράλληλη προς την με , όπου σημεία των πλευρών αντίστοιχα για τα οποία ισχύει :
Στάθης
Κουνάμε το στην και από φέρνουμε την παράλληλη από αυτό στην , η οποία τέμνει την παράλληλη από το στην έστω στο .
Οπότε το προκύπτει ως η τομή της κάθετης από το στην διχοτόμο της η οποία είναι σταθερή, έτσι το κινείται προβολικά(τα στο ίδιο ημιεπίπεδο προς την ). Έτσι προβολικότητα η οποία που σημαίνει ότι το κινείται σε σταθερή ευθεία.
Αρκεί να δείξουμε πως αυτή η ευθεία είναι η παράλληλη από το στην .
Όταν το πάει στο άπειρο πάει και το και έτσι , άρα μένει μία θέση.
Για είναι . Θεωρούμε το ορθόκεντρο του . Είναι
Έτσι τα είναι ομοκυκλικά που σημαίνει και αν είναι απλό πως έτσι κάθετες στην ίδια ευθεία κλπ.
Re: Παραλληλία υπό συνθήκη
Τι εννοείς με τον όρο προβολικοτητα ;ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιαν 13, 2021 12:29 pm..ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pmΠαραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο με . Αν η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου είναι παράλληλη προς την με , όπου σημεία των πλευρών αντίστοιχα για τα οποία ισχύει :
Στάθης
Έτσι προβολικότητα ...
....
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Παραλληλία υπό συνθήκη
Γεια σας,rek2 έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 14, 2021 12:15 amΤι εννοείς με τον όρο προβολικοτητα ;ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τετ Ιαν 13, 2021 12:29 pm..ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pmΠαραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο με . Αν η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου είναι παράλληλη προς την με , όπου σημεία των πλευρών αντίστοιχα για τα οποία ισχύει :
Στάθης
Έτσι προβολικότητα ...
....
Μπορείτε να δείτε εδώ όπου ο Μηνάς συν τοις άλλοις αναφέρει και τι είναι μία προβολικότητα.
Εδώ έχουμε πρώτα την μία προβολικότητα μεταξύ 2 σταθερών ευθειών () και μετά μεταξύ δύο δέσμεων () το οποίο σημαίνει π.χ ότι αν πάρω 4 θέσεις για το τότε τα αντίστοιχα θα ορίζουν ίσο διπλό λόγο με τα και φυσικά το ίδιο με τις δέσμες .
Μπορείτε επίσης να δείτε εδώ για ορισμούς και άλλα(προβολικότητα αναφέρεται ως projective map)
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλία υπό συνθήκη
Προφανώς τα σημεία , (περίκεντρο του ) και ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Εφόσον , τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο , , οπότε , όπου η ακτίνα του .
Έστω το μέσο της πλευράς , και το κέντρο βάρος του . Τότε,
, επομένως , δηλαδή, η ευθεία Euler του τριγώνου είναι παράλληλη της διχοτόμου
της γωνίας του τριγώνου .
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι , οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.
Έχουμε το εξής πρόβλημα:
Σε παραλληλόγραμμο , τα σημεία και είναι σημεία των πλευρών και αντίστοιχα,
ώστε , Αν το σημείο τομής των τμημάτων και , τότε η είναι η διχοτόμος της γωνίας .
Έστω . Από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε .
Όμως, (υπόθεση),
οπότε η γίνεται . Από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε .
Από τις παραπάνω προκύπτει ότι (αντίστροφο Θ. διχοτόμου), οπότε η διχοτόμος της γωνίας του παραλληλογράμμου .
Γνωρίζουμε όμως ότι οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών ενός παραλληλογράμμου είναι παράλληλες.
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Παρ Ιαν 15, 2021 10:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία υπό συνθήκη
Υπέροχη αντιμετώπιση από τον Γιάννη. Του Πρόδρομου δεν την καλοκαταλαβαίνω (βλέπεις τα κύτταρα γεράζουν και δεν είναι εύκολο να μαθαίνεις νέα πράγματα )ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Ιαν 11, 2021 5:01 pmΠαραλληλία υπό συνθήκη.pngΈστω τρίγωνο με . Αν η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου να δειχθεί ότι η ευθεία Euler του τριγώνου είναι παράλληλη προς την με , όπου σημεία των πλευρών αντίστοιχα για τα οποία ισχύει :
Στάθης
Το δικό μου σκεπτικό ήταν ότι η συνθήκη οδηγεί (από τον νόμο των συνημιτόνων ότι με τη βοήθεια της οποίας προκύπτει ότι οι ορθές προβολές της στις πλευρές του τριγώνου είναι ίσες (από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων) οπότε είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας η οποία διχοτόμος είναι παράλληλη στην όπως πολύ όμορφα απέδειξε ο Γιάννης και έχει συζητηθεί και γενικότερα εδώ και από τον ΤΕΡΑΣΤΙΟ !!! Κώστα Βήττα
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες