Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές

Με τα σημεία S,T

τριχοτομήσαμε την υποτείνουσα

ορθογωνίου τριγώνου ABC

.

Αν : $\widehat{SAT}=2\widehat{SAB}$ , υπολογίστε την $\tan C$ . Κατασκευή ευπρόσδεκτη .

#2

: Διπλάσια 17_Ώρα 77_κατασκευή.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Κατασκευή .

( Μόνο για να κατασκευαστεί το 100% ακριβές σχήμα)

Θεωρώ ημικύκλιο διαμέτρου

και γράφω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο

του οποίου : $\boxed{\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}}$

( το τμήμα $\sqrt {11}$ κατασκευάζεται απλά με διάφορους τρόπους).

Η τομή του ημικυκλίου με τον πιο πάνω κύκλο δίδει το

#3

: Διπλάσια 17_Ώρα 77_Ανάλυση.png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

Έστω $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ οι προβολές των $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ στην

.

Αν θέσω $BM = MN = NA = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MS = 2m$ θα έχω: $\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \frac{{2m}}{{2u}} = \frac{m}{u} \hfill \\ \tan 3\theta = \frac{{4m}}{u} = 4\tan \theta \hfill \\ \tan 3\theta = \frac{{3\tan \theta - {{\tan }^3}\theta }}{{1 - 3{{\tan }^2}\theta }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt {11} }}}$

Θα είναι $\boxed{\tan B = \frac{{2m}}{u} = \frac{2}{{\sqrt {11} }} \Rightarrow \tan C = \frac{{\sqrt {11} }}{2}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 07, 2021 8:59 pm
Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77.pngΜε τα σημεία τριχοτομήσαμε την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου .

Αν : $\widehat{SAT}=2\widehat{SAB}$ , υπολογίστε την $\tan C$ . Κατασκευή ευπρόσδεκτη .

Καλησπέρα μια λύση μόνο Ευκλειδεια Γεωμετρία .Το ATJB

είναι παραλληλόγραμμο

Θα βρω τρίγωνο με δυο γωνίες $\theta ,2\theta$ και στη συνέχεια θα χρησιμοποιησω

τη βασική ασκηση : Σε τρίγωνο $ABC ,B=2C\Rightarrow b^{2}=c^{2}+ac$

Στα τρίγωνα ACS,ATB

από το θεώρημα της διαμέσου είναι $b^{2}+AS^{2}=2AT^{2}+\dfrac{2a^{2}}{9},(1), AT^{2}+c^{2}=2AS^{2}+\dfrac{2a^{2}}{9},(2), (1),(2)\Rightarrow AS^{2}=\dfrac{4c^{2}+b^{2}}{9}, AT^{2}=\dfrac{4b^{2}+c^{2}}{9},$

Στο τρίγωνο

$ATJ,\hat{AJT}=\theta ,\hat{TAJ}=2\theta ,c^{2}=AT^{2}+AT.2AS \Rightarrow 4c^{2}-2b^{2}=\sqrt{(4b^{2}+c^{2})(4c^{2}+b^{2})},$

Θέτω $\dfrac{c^{2}}{b^{2}}=t=tan\omega ^{2} ,12t^{2}-33t=0\Leftrightarrow tan\omega =\dfrac{\sqrt{11}}{2}$

Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77

Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77

Re: Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77

Re: Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77

Re: Διπλάσια γωνία 17 και ώρα εφαπτομένης 77

Μέλη σε σύνδεση