Μήκος τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μήκος τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 04, 2021 8:02 am

Μήκος  τμήματος.png
Μήκος τμήματος.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
Στο πρώτο τεταρτημόριο σχεδιάσαμε το ακτίνας 6 , τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} . Με μία κορυφή το S(1,2)

σχεδιάσαμε ορθογώνιο SPQT , ( P,T σημεία του τόξου ) . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος OQ .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 04, 2021 9:50 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 04, 2021 8:02 am
Μήκος τμήματος.pngΣτο πρώτο τεταρτημόριο σχεδιάσαμε το ακτίνας 6 , τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} . Με μία κορυφή το S(1,2)

σχεδιάσαμε ορθογώνιο SPQT , ( P,T σημεία του τόξου ) . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος OQ .
Μήκος τμήματος.Κ.png
Μήκος τμήματος.Κ.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
Λόγω του ορθογωνίου είναι \displaystyle O{S^2} + O{Q^2} = O{P^2} + O{T^2} \Leftrightarrow 5 + O{Q^2} = 36 + 36 \Leftrightarrow \boxed{OQ = \sqrt {67}}


Παρατήρηση: Με S(2,2) θα είχαμε καλύτερο αποτέλεσμα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μήκος τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 04, 2021 10:19 am

Μήκος  τμήματος.png
Μήκος τμήματος.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
Δεν είμαι σίγουρος ότι το "λόγω του ορθογωνίου" , υπονοεί την χρήση του θεωρήματος της διαμέσου και την ισότητα

των διαγωνίων του ορθογωνίου . Όπως και να' χει , ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου K του ορθογωνίου :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 04, 2021 10:59 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 04, 2021 10:19 am
Δεν είμαι σίγουρος ότι το "λόγω του ορθογωνίου" , υπονοεί την χρήση του θεωρήματος της διαμέσου και την ισότητα

των διαγωνίων του ορθογωνίου...
Ακριβώς! Είναι η άσκηση 3 από τις αποδεικτικές του σχολικού βιβλίου στην παράγραφο 9.6 για οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου,

ή αλλιώς όπως είναι ευρύτερα γνωστό British flag theorem (για εσωτερικό σημείο του ορθογωνίου). Η απόδειξη όμως είναι ίδια.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μήκος τμήματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 04, 2021 11:43 am

Ας είναι M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N, το κέντρο του ορθογωνίου και το μέσο του σταθερού OS.

Ταυτόχρονα θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  O{M^2} + M{S^2} = {R^2} - M{T^2} + M{T^2} = {R^2} \hfill \\ 
  O{M^2} + M{S^2} = 2M{N^2} + \frac{{O{S^2}}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Γιατί SM = MT = MP και από το α Θ. διαμέσων στο \vartriangle MOS
Μήκος τμήματος Karkar_4_1_2021.png
Μήκος τμήματος Karkar_4_1_2021.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Αν OS = d εξισώνω τα δεύτερα μέλη κι έχω: 2MN = \sqrt {2{R^2} - {d^2}} .

Αλλά \boxed{MN// = \frac{{OQ}}{2} \Rightarrow OQ = 2MN = \sqrt {2{R^2} - {d^2}} }

Παρατήρηση : Η άσκηση είναι παραλλαγή πολύ παλιάς άσκησης που είχε τεθεί τουλάχιστον 2 φορές στις τότε εισαγωγικές εξετάσεις για Α.Ε.Ι.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10654
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μήκος τμήματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 04, 2021 12:01 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 04, 2021 10:19 am
Μήκος τμήματος.pngΔεν είμαι σίγουρος ότι το "λόγω του ορθογωνίου" , υπονοεί την χρήση του θεωρήματος της διαμέσου και την ισότητα

των διαγωνίων του ορθογωνίου . Όπως και να' χει , ζητείται ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου K του ορθογωνίου :lol:
Ο γεωμετρικός τόπος είναι τόξο κύκλου και η Καρτεσιανή εξίσωσή του είναι: \boxed{2{x^2} + 2{y^2} - 2x - 4y - 31 = 0}

ή αλλιώς \boxed{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {(y - 1)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt {67} }}{2}} \right)^2}} που σημαίνει ότι έχει κέντρο το μέσο του OS και ακτίνα \dfrac{OQ}{2}.

Απόδειξη: Έστω Q(x_1,y_1), K(x,y). Είναι \displaystyle {y_1} = \sqrt {67 - {x_1}^2} και \displaystyle x = \frac{{1 + {x_1}}}{2},y = \frac{{2 + \sqrt {67 - {x_1}^2} }}{2}. Με απαλοιφή τώρα του x_1 προκύπτει η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης