Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 03, 2021 9:55 am

Τετράπλευρο  σε παραλληλόγραμμο.png
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.png (17.63 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο K και εμβαδόν E . Στις πλευρές του AB , CD θεωρούμε

τυχόντα σημεία S , P . Οι τομές των AP , BP με τις CS,DS , δημιουργούν το τετράπλευρο PTSQ .

α) Δείξτε ότι η διαγώνιός του , TQ , διέρχεται από το K ... β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 28, 2021 4:53 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 03, 2021 9:55 am
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.pngΤο ABCD είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο K και εμβαδόν E . Στις πλευρές του AB , CD θεωρούμε

τυχόντα σημεία S , P . Οι τομές των AP , BP με τις CS,DS , δημιουργούν το τετράπλευρο PTSQ .

α) Δείξτε ότι η διαγώνιός του , TQ , διέρχεται από το K ... β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .
α) Η TQ τέμνει την AC στο K και τις AB, CD στα M, N αντίστοιχα. Θα δείξω ότι το K είναι μέσο της AC.
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.α.png
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.α.png (28.48 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Με δύο Μενέλαους στα τρίγωνα APB, SCD και αντίστοιχες διατέμνουσες \displaystyle \overline {NTQ} ,\overline {MQT} έχω:

\displaystyle \frac{{PT}}{{TA}} \cdot \frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BQ}}{{QP}} = 1 = \frac{{DT}}{{TS}} \cdot \frac{{SQ}}{{QC}} \cdot \frac{{CN}}{{ND}} κι επειδή \displaystyle \frac{{PT}}{{TA}} = \frac{{DT}}{{TS}} και \displaystyle \frac{{BQ}}{{QP}} = \frac{{SQ}}{{QC}}, θα είναι

\displaystyle \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{CN}}{{ND}} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{CD}}{{ND}}, απ' όπου το AMCN είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.



β) Τα γράμματα μέσα στα τρίγωνα συμβολίζουν εμβαδά. Επειδή το DPSA είναι τραπέζιο θα είναι

\displaystyle {E_1} = \sqrt {{E_3}{E_4}}  \le \frac{{{E_3} + {E_4}}}{2} και ομοίως \displaystyle {E_2} \le \frac{{{E_5} + {E_6}}}{2}. Άρα:
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.β.png
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.β.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
\displaystyle (PTSQ) \le \frac{{{E_3} + {E_4} + {E_5} + {E_6}}}{2} = \frac{{E - 2(PTSQ)}}{2} \Leftrightarrow \boxed{(PTSQ) \le \frac{E}{4}}

με την ισότητα να ισχύει όταν \boxed{PS||AD}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Ιαν 28, 2021 5:06 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 03, 2021 9:55 am
Τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο.pngΤο ABCD είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο K και εμβαδόν E . Στις πλευρές του AB , CD θεωρούμε

τυχόντα σημεία S , P . Οι τομές των AP , BP με τις CS,DS , δημιουργούν το τετράπλευρο PTSQ .

α) Δείξτε ότι η διαγώνιός του , TQ , διέρχεται από το K ... β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .
Για το α) ερώτημα να πω ότι ο Παππος δίνει άμεση απάντηση

Για το β) ερώτημα η πιο ενδεδειγμένη λυση ειναι μάλλον αυτή του Γιώργου


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης