Μεσοδιάμεσος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεσοδιάμεσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 01, 2021 9:35 am

Μεσοδιάμεσος.png
Μεσοδιάμεσος.png (10.42 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
Η διάμεσος AM=m , τριγώνου ABC , δεν μπορεί να είναι ο αριθμητικός μέσος των πλευρών

AB=c και AC=b ( γιατί ; ) . Μπορεί όμως να είναι ο γεωμετρικός μέσος , όπως φαίνεται

στο παρατιθέμενο σχήμα . Βρείτε κι εσείς κάποιον τρόπο , να κατασκευάσετε ένα τέτοιο τρίγωνο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεσοδιάμεσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 01, 2021 9:51 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 01, 2021 9:35 am
Μεσοδιάμεσος.pngΗ διάμεσος AM=m , τριγώνου ABC , δεν μπορεί να είναι ο αριθμητικός μέσος των πλευρών

AB=c και AC=b ( γιατί ; ) . Μπορεί όμως να είναι ο γεωμετρικός μέσος , όπως φαίνεται

στο παρατιθέμενο σχήμα . Βρείτε κι εσείς κάποιον τρόπο , να κατασκευάσετε ένα τέτοιο τρίγωνο .
α) Αν ήταν Α.Μ τότε \displaystyle \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} = {m^2} = {\left( {\frac{{b + c}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow |b - c| = a ΑΤΟΠΟ

β) Αν είναι Γ.Μ ομοίως βρίσκω \displaystyle a = |b - c|\sqrt 2<b+c, απ' όπου παράγονται τα ζητούμενα τρίγωνα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεσοδιάμεσος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 01, 2021 11:51 am

Μεσοδιάμεσος  τόπος.png
Μεσοδιάμεσος τόπος.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Τοποθετούμε την βάση BC=a πάνω στον x'x , ώστε το M να είναι το (0,0) .

Αν το A κινείται μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο , βρείτε τον γεωμετρικό του τόπο .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεσοδιάμεσος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 01, 2021 6:53 pm

Δίνω απλώς την κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου.
Μεσοδιάμεσος.png
Μεσοδιάμεσος.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Γράφω ημικύκλιο με διάμετρο την BC και έστω N το μέσο του. Στη συνέχεια γράφω το τόξο \overset\frown{NP} του κύκλου (C, CN) όπως

φαίνεται στο σχήμα. Σε κάθε εσωτερικό σημείο S του τόξου αντιστοιχεί ένα σημείο A που ορίζεται ως το σημείο τομής της CS με

την μεσοκάθετο του BS, και αποτελεί την τρίτη κορυφή του τριγώνου ABC.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεσοδιάμεσος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 02, 2021 12:03 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 01, 2021 11:51 am
Μεσοδιάμεσος τόπος.pngΤοποθετούμε την βάση BC=a πάνω στον x'x , ώστε το M να είναι το (0,0) .

Αν το A κινείται μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο , βρείτε τον γεωμετρικό του τόπο .
Η ίδια άσκηση βρίσκεται εδώ Επειδή αλλάξαμε προσανατολισμό και τεταρτημόριο, δεν άλλαξε και τίποτα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεσοδιάμεσος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 02, 2021 7:18 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιαν 02, 2021 12:03 am
Η ίδια άσκηση βρίσκεται εδώ Επειδή αλλάξαμε προσανατολισμό και τεταρτημόριο, δεν άλλαξε και τίποτα .
Ακριβώς Γιώργο , είναι σχεδόν το ίδιο πρόβλημα . Αλλά το έβαλα κι εκεί αναμένοντας την περιγραφή

του τόπου από μια εξίσωση στο καρτεσιανό επίπεδο και τον χαρακτηρισμό της προκύπτουσας γραμμής .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεσοδιάμεσος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 02, 2021 9:56 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 01, 2021 11:51 am
Μεσοδιάμεσος τόπος.pngΤοποθετούμε την βάση BC=a πάνω στον x'x , ώστε το M να είναι το (0,0) .

Αν το A κινείται μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο , βρείτε τον γεωμετρικό του τόπο .
Μεσοδιάμεσος.b.png
Μεσοδιάμεσος.b.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
Όπως γράφτηκε και εκεί ο γεωμετρικός τόπος είναι υπερβολή και μάλιστα ισοσκελής με εξίσωση \displaystyle {x^2} - {y^2} = \frac{{{a^2}}}{2}.

Εδώ όμως έχουμε τον περιορισμό το A να κινείται αποκλειστικά στο 2ο τεταρτημόριο, οπότε η εξίσωση του γεωμετρικού

τόπου είναι \boxed{y = \sqrt {{x^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} ,x <  - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης