Μεγάλες κατασκευές 45

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 45

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 29, 2020 8:52 pm

Μεγάλες κατασκευές 45.png
Μεγάλες κατασκευές 45.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Με υποτείνουσα BC=8 στην οποία βρίσκεται σημείο T , ώστε BT=6 , να κατασκευαστεί

ορθογώνιο τρίγωνο ABC , τέτοιο ώστε αν φέρουμε κάθετη της BC στο T , η οποία να τέμνει

τους φορείς των πλευρών CA, BA στα σημεία M,S αντίστοιχα , το M να είναι το μέσο του ST .

Διακαής επιθυμία του συγγραφέα η παρουσίαση τουλάχιστον τριών διαφορετικών λύσεων .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Δεκ 29, 2020 9:33 pm

T' συμμετρικό του T ως προς C.
Συνημμένα
rsz_kat45.png
rsz_kat45.png (39.78 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Τρί Δεκ 29, 2020 9:37 pm

Είναι MAS  \approx  MTC έτσι MΤ^2=MA\cdot MC
Θεωρούμε σημείο A' στο ευθύγραμμο τμήμα MC τέτοιο ώστε MA=MA' τότε: MT^2=MA'\cdot MC
\Rightarrow TA' \perp MC
Έτσι CA'\cdot CM=4\Leftrightarrow (MC-MA)MC=4\Leftrightarrow MC^2-MA\cdot MC=4 \ (1)
Ακόμη τα ABC,MTC είναι όμοια \Rightarrow CM\cdot CA=CT\cdot CB\Leftrigtarrow MC(MC+MA)=16\Leftrightarrow MC^2+MA\cdot MC=16 \ (2)
(1)+(2)\Rightarrow MC=\sqrt {10}\stackrel{(1)}{\Rightarrow} MΑ=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}
\Rightarrow AC=MA+MC=\dfrac{8\sqrt{10}}{5}
Με γνωστές τις AC,BC το ορθογώνιο τρίγωνο είναι κατασκευάσιμο


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 29, 2020 9:48 pm

μεγάλες κατασκευές 45_1.png
μεγάλες κατασκευές 45_1.png (18.53 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Κατασκευή-απόδειξη, προφανείς


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Δεκ 30, 2020 2:02 am

Για την Καλημέρα σε όλους και για τον πολυγραφότατο KARKAR
Μ.Κ...45.png
Μ.Κ...45.png (67.08 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
Αρκεί να υπολογιστεί το MT=MS=x .Είναι \dfrac{2x}{6}=tan\omega =\dfrac{2}{x}\Rightarrow x=\sqrt{6}... Φιλικά, Γιώργος,


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 30, 2020 2:51 am

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Γράφω τον κύκλο \left( {S,B,C} \right) και ας είναι E η τομή της ημιευθείας MT μ αυτόν.

Το M είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle SAC οπότε : SM = MT = TE = x.

Επειδή TB \cdot TC = TS \cdot TE \Rightarrow 12 = 2{x^2} \Rightarrow {x^2} = 6 \Rightarrow \boxed{C{M^2} = 10}.

Κατασκευή .
μεγάλες κατασκευές 45_3.png
μεγάλες κατασκευές 45_3.png (18.25 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές

Στην προέκταση της BC προς το C θεωρώ το σημείο P με CP = 3 .

Υψώνω κάθετη σ αυτή στο P , PL = 1 . Προφανώς \boxed{C{L^2} = 9 + 1 = 10}

Γράφω τον κύκλο \left( {C,CL} \right) και τέμνει στο M την εις στο P κάθετη της BC.

Αφού λοιπόν προσδιορίζω το M τα υπόλοιπα απλά .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 30, 2020 3:18 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 29, 2020 8:52 pm
Μεγάλες κατασκευές 45.pngΜε υποτείνουσα BC=8 στην οποία βρίσκεται σημείο T , ώστε BT=6 , να κατασκευαστεί

ορθογώνιο τρίγωνο ABC , τέτοιο ώστε αν φέρουμε κάθετη της BC στο T , η οποία να τέμνει

τους φορείς των πλευρών CA, BA στα σημεία M,S αντίστοιχα , το M να είναι το μέσο του ST .

Διακαής επιθυμία του συγγραφέα η παρουσίαση τουλάχιστον τριών διαφορετικών λύσεων .
Κατασκευή
μεγάλες κατασκευές 45_4.png
μεγάλες κατασκευές 45_4.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
Στο P, επί την BC, φέρνω κάθετη ευθεία {g_1}. Με πόλο το C και δύναμη αντιστροφής \boxed{{k^2} = 10} , η ευθεία αυτή μετασχηματίζεται σε κύκλο .

Ας είναι M ένα απ τα σημεία τομής του κύκλου αυτού με την {g_1}.

Η κάθετη από το B στην CM τέμνει την CM στο A και την {g_1} στο S.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 30, 2020 8:33 am

Μεγάλες κατασκευές.45.png
Μεγάλες κατασκευές.45.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Σύμφωνα με αυτήν \displaystyle S{T^2} = 2 \cdot 6 \cdot 2 \Leftrightarrow ST = 2\sqrt 6


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 30, 2020 9:51 am

45.png
45.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Ευχαριστώ ! Μήπως μπορείτε να εξηγήσετε και την κατασκευή του παραπάνω σχήματος ;


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τετ Δεκ 30, 2020 11:34 am

Μήπως η παρακάτω κατασκευή είναι η εξήγηση που ζητάς;
Συνημμένα
rsz_mkat45.png
rsz_mkat45.png (43.57 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 30, 2020 12:08 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 30, 2020 9:51 am
45.png Ευχαριστώ ! Μήπως μπορείτε να εξηγήσετε και την κατασκευή του παραπάνω σχήματος ;

Έστω QT=x. Τότε: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
A{Q^2} = (6 - x)(x + 2)\\ 
\\ 
\dfrac{{6 - x}}{6} = \dfrac{{AQ}}{{ST}} = \dfrac{{AQ}}{{2\sqrt 6 }} 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{x=1,2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης