Τέμνονται επί

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τέμνονται επί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 28, 2020 1:24 pm

Τέμνονται  επί.png
Τέμνονται επί.png (18.92 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
Τα σημεία M ,N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AC αντίστοιχα , τριγώνου ABC , ενώ το S τυχόν

σημείο της BC . Τα τμήματα AS , MN τέμνονται στο K . Ας πούμε B' , C' τα συμμετρικά των B , C

ως προς K . Δείξτε ότι τα τμήματα MB' , NC' τέμνονται πάνω στο τμήμα AK .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13501
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τέμνονται επί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 28, 2020 1:40 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 28, 2020 1:24 pm
Τέμνονται επί.pngΤα σημεία M ,N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AC αντίστοιχα , τριγώνου ABC , ενώ το S τυχόν

σημείο της BC . Τα τμήματα AS , MN τέμνονται στο K . Ας πούμε B' , C' τα συμμετρικά των B , C

ως προς K . Δείξτε ότι τα τμήματα MB' , NC' τέμνονται πάνω στο τμήμα AK .
Τα C'NCM, B'MBN είναι παραλληλόγραμμα (οι διαγώνιες διχοτομούνται) άρα C'N//MC και λοιπά. Άρα οι έξι γωνίες στις κορυφές του μεγάλου τριγώνου που σχηματίζονται από τις CM,BN,AS είναι ίδιες με τις αντίστοιχες του μικρού. Από Τριγωνομετρικό Ceva στα δύο τρίγωνα, καθαρίσαμε.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Τέμνονται επί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Δεκ 29, 2020 9:56 am

Προφανώς BC'B'C είναι παραλληλόγραμμο.
Έστω D=B'M \cap BC', E=C'N \cap CB' και ας επιζευχθούν τα D,C και E,B.
Αν τώρα F=B'M \cap AS και G=DC \cap AS τότε το θεώρημα του Πάππου διασφαλίζει το ζητούμενο.
Συνημμένα
rsz_1pappu23.png
rsz_1pappu23.png (79.52 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Τέμνονται επί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Δεκ 29, 2020 10:33 am

Από BK = KB' και CK = KC' και SK = KA, έχουμε ότι τα σημεία B',\ A,\ C' είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή

και ισχύειA'B'\parallel BC\parallel MN και AB' = AC' λόγω SB = SC.

Στο τραπέζιο B'C'MN τώρα, με B'C'\parallel MN προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα A,\ K των βάσεών του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Μπερδεύτηκα από το σχήμα και δεν πρόσεξα ότι στην εκφώνηση το σημείο S\in BC δεν ταυτίζεται με το μέσον της BC και επομένως, η ως άνω απόδειξη αφορά σε άλλο πρόβλημα ( ειδική περίπτωση ). Θα την ξαναδώ και εάν όπως νομίζω διορθώνεται, βασισμένη στο ίδιο σκεπτικό, θα επανέλθω.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Τέμνονται επί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τρί Δεκ 29, 2020 12:08 pm

vittasko έγραψε:
Τρί Δεκ 29, 2020 10:33 am
Από BK = KB' και CK = KC' και SK = KA, έχουμε ότι τα σημεία B',\ A,\ C' είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή

και ισχύειA'B'\parallel BC\parallel MN και AB' = AC' λόγω SB = SC.

Στο τραπέζιο B'C'MN τώρα, με B'C'\parallel MN προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα A,\ K των βάσεών του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Μπερδεύτηκα από το σχήμα και δεν πρόσεξα ότι στην εκφώνηση το σημείο S\in BC δεν ταυτίζεται με το μέσον της BC και επομένως, η ως άνω απόδειξη αφορά σε άλλο πρόβλημα ( ειδική περίπτωση ). Θα την ξαναδώ και εάν όπως νομίζω διορθώνεται, βασισμένη στο ίδιο σκεπτικό, θα επανέλθω.
f 178_t 68653.PNG
Τέμνονται επί.
f 178_t 68653.PNG (22.5 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Ξαναγράφω την απόδειξη για τυχόν σημείο S\in BC, βασισμένη στο ίδιο σκεπτικό ως άνω.

Από BK = KB' και CK = KC' και SK = KA, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι τα σημεία B',\ A,\ C' είναι συνευθειακά και ισχύει

B'C'\parallel BC\parallel MN και \displaystyle \frac{AB'}{AC'} = \frac{SB}{SC}\Rightarrow \displaystyle \frac{AB'}{AC'} = \frac{KM}{KN}\ \ \ ,(1) λόγω \displaystyle \frac{MK}{KN} = \frac{SB}{SC} από MN\parallel BC.

Στο τραπέζιο B'C'MN τώρα, σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι οι ευθείες MB',\ NC',\ AK τέμνονται στο ίδιο σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τέμνονται επί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Δεκ 30, 2020 8:37 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 28, 2020 1:24 pm
Τέμνονται επί.pngΤα σημεία M ,N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AC αντίστοιχα , τριγώνου ABC , ενώ το S τυχόν

σημείο της BC . Τα τμήματα AS , MN τέμνονται στο K . Ας πούμε B' , C' τα συμμετρικά των B , C

ως προς K . Δείξτε ότι τα τμήματα MB' , NC' τέμνονται πάνω στο τμήμα AK .
Ας δούμε και το πιο γενικευμένο πρόβλημα

Δίνεται η επίπεδη κεντρική δέσμη \displaystyle{A.XYZ} και τρεις παράλληλες ευθείες στο επίπεδο της δέσμης \displaystyle{\left( {{e_1}} \right)\parallel \left( {{e_2}} \right)\parallel \left( {{e_3}} \right)}. Αν \displaystyle{{X_1},{Y_1},{Z_1}} και \displaystyle{{X_2},{Y_2},{Z_2}} είναι τα σημεία τομής των ευθειών \displaystyle{AX,AY,AZ} με τις \displaystyle{\left( {{e_1}} \right),\left( {{e_2}} \right)} αντίστοιχα , να δειχθεί ότι οι \displaystyle{{X_2}{X_3}} και \displaystyle{{Z_2}{Z_3}} τέμνονται επί της \displaystyle{AY}, όπου \displaystyle{{X_3} \equiv {X_1}{Y_2} \cap \left( {{e_3}} \right)} και \displaystyle{{Z_3} \equiv {Z_1}{Y_2} \cap \left( {{e_3}} \right)}.

Απόδειξη
Τέμνονται επί.png
Τέμνονται επί.png (25.23 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Αν \displaystyle{{Y_3} \equiv AY \cap \left( {{e_3}} \right)} τότε από την κεντρική δέσμη με κέντρο \displaystyle{{Y_2}} και \displaystyle{\left( {{e_1}} \right)\parallel \left( {{e_3}} \right) \Rightarrow \dfrac{{{X_3}{Y_3}}}{{{Y_3}{Z_3}}} = \dfrac{{{X_1}{Y_1}}}{{{Y_1}{Z_1}}}\mathop  = \limits^{A.XYZ,\left( {{e_1}} \right)\parallel \left( {{e_2}} \right)} \dfrac{{{X_2}{Y_2}}}{{{Y_2}{Z_2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( {{e_2}} \right)\parallel \left( {{e_3}} \right)} {X_2}{X_3},{Y_2}{Y_3},{Z_2}{Z_3}} αποτελούν κεντρική δέσμη (αντίστροφο κεντρικής δέσμης) ,έστω κέντρου \displaystyle{S} όπως φαίνεται στο σχήμα και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Τέμνονται επί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Δεκ 30, 2020 9:34 pm

Αλλιώς, με βάση το Θεώρημα Desarques, που "φωνάζει".

\bullet Τα τρίγωνα \vartriangle X_{1}X_{2}X_{3},\ \vartriangle Z_{1}Z_{2}Z_{3} είναι προοπτικά λόγω X_{1}Z_{1}\parallel X_{2}Z_{2}\parallel X_{3}Z_{3}.

Συμπεραίνεται έτσι ότι τα σημεία Y_{2}\equiv X_{1}X_{3}\cap Z_{1}Z_{3} και S\equiv X_{2}X_{3}\cap Z_{2}Z_{3} και A\equiv X_{1}X_{2}\cap Z_{1}Z_{2} είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Demetres και 1 επισκέπτης