Μέγιστο εμβαδόν 37

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12544
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 37

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 26, 2020 8:56 am

Μέγιστο  εμβαδόν 37.png
Μέγιστο εμβαδόν 37.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
Το SP είναι εφαπτόμενο τμήμα και τα A ,P,T συνευθειακά . Υπολογίστε το (SPT)_{max}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4870
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Δεκ 26, 2020 1:10 pm

Καλημέρα σε όλους.


Μέγιστο  εμβαδόν 37.png
Μέγιστο εμβαδόν 37.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Προσαρμόζουμε το σχήμα σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων.

O(0,0) μέσο του AB. Έστω  \displaystyle A\left( { - 1,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),\;P\left( {\sigma \upsilon \nu \theta ,\;\eta \mu \theta } \right),\;\;\theta  \in \left( {0,\;\pi } \right) .

Η προέκταση της SP τέμνει την TB στο K.

(SPT)= (STK) – (PTK)  \displaystyle  = \frac{{{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm T}{\rm K} - d\left( {P,TK} \right) \cdot TK}}{2} = \frac{{\left[ {2 - d\left( {P,TK} \right)} \right] \cdot TK}}{2} .

Είναι  \displaystyle SK:\;\;\eta \mu \theta  \cdot y + \sigma \upsilon \nu \theta  \cdot x = 1 , άρα  \displaystyle K\left( {1,\;\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }}{{\eta \mu \theta }}} \right)

και  \displaystyle AP:\;\;y = \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu \theta  + 1}}\left( {x + 1} \right),\;\;BT:\;x = 1 , άρα  \displaystyle T\left( {1,\;\frac{{2\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu \theta  + 1}}} \right)

Είναι  \displaystyle d\left( {P,\;KT} \right) = 1 - \sigma \upsilon \nu \theta

και  \displaystyle {\rm T}{\rm K} = \frac{{2\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu \theta  + 1}} + \frac{{\sigma \upsilon \nu \theta  - 1}}{{\eta \mu \theta }} = \frac{{2\eta {\mu ^2}\theta  + \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  - 1}}{{\eta \mu \theta \left( {\sigma \upsilon \nu \theta  + 1} \right)}} = \frac{{\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu \theta  + 1}}

άρα  \displaystyle \left( {PST} \right) = \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu \theta }}{2} \cdot \frac{{\eta \mu \theta }}{{1 + \sigma \upsilon \nu \theta }} = \frac{{\eta \mu \theta }}{2} , με το μέγιστο όταν το P είναι μέσο του τόξου AB (οριζόντια εφαπτομένη).

Για ακτίνα R, το εμβαδό είναι R^2/2.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Δεκ 26, 2020 5:47 pm

Καλησπέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά,

(SPOA)=2(SOA)=(SBA)=(STA)

(STP)=(STA)-(SPA)=(SPOA)-(SPA)=(AOP)

To (AOP) τώρα γίνεται μέγιστο όταν η OP είναι κάθετη στην AB. Επομένως (SPT)_{max}=\dfrac{r^{2}}{2}
Συνημμένα
max37.png
max37.png (29.41 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10455
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 26, 2020 6:42 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 8:56 am
Μέγιστο εμβαδόν 37.pngΤο SP είναι εφαπτόμενο τμήμα και τα A ,P,T συνευθειακά . Υπολογίστε το (SPT)_{max}
Χρόνια Πολλά!

Η SP διέρχεται από το μέσο M του BT και έστω H η προβολή του M στην PT.
Μέγιστο εμβαδόν 37.png
Μέγιστο εμβαδόν 37.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
\displaystyle BP = 2MH \Leftrightarrow (APB) = 2(APM) = 2(SPT). Αλλά, το (APB) μεγιστοποιείται

όταν γίνει ορθογώνιο και ισοσκελές. Άρα, \boxed{{(SPT)_{\max }} = \frac{1}{2}{(APB)_{\max }} = \frac{{{d^2}}}{8}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2059
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 27, 2020 12:25 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 8:56 am
Μέγιστο εμβαδόν 37.pngΤο SP είναι εφαπτόμενο τμήμα και τα A ,P,T συνευθειακά . Υπολογίστε το (SPT)_{max}
Λόγω της προφανούς ισότητας των μπλε γωνιών

 \triangle SKP \simeq PTB \Rightarrow  \dfrac{SK}{PB}= \dfrac{AK}{PT }   \Rightarrow SK . PT=AK.PB \Rightarrow 2(SPT)= \dfrac{AP}{2} PB=(APB)

Άρα    (SPT)_{max} = \dfrac{ (APB)_{max} }{2} = \dfrac{d^2}{8}
μέγιστο εμβαδόν 37.png
μέγιστο εμβαδόν 37.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 156
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Κυρ Δεκ 27, 2020 9:53 am

Πρώτα θαυμάζω την απόδειξη του Altrian. Παραθέτω και άλλη μία για ποικιλία.
Από τις εμφανείς ισότητες του σχήματος, προκύπτουν

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
\bullet\ AS \geq r, \ \ \ & TD \leq TN \rightarrow SP \cdot TD \leq SP \cdot TN = SP \cdot PN = OP^2 = r^2 \cr 
\bullet\ AS \leq r, \ \ \ & TD \geq TN \rightarrow SP \cdot TD \geq SP \cdot TN = SP \cdot PN = OP^2 = r^2 \cr 
\end{aligned} 
}

άρα το (STP)_{max} επιτυγχάνεται για SP=PN=TD=TN=r και είναι

\displaystyle{ 
(STP)_{max} = {SP \cdot TD \over 2} =  {r^2 \over 2} 
}
Συνημμένα
rsz_mega37.png
rsz_mega37.png (47.83 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 37

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 27, 2020 11:53 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 26, 2020 8:56 am
Μέγιστο εμβαδόν 37.pngΤο SP είναι εφαπτόμενο τμήμα και τα A ,P,T συνευθειακά . Υπολογίστε το (SPT)_{max}
Μέγιστο εμβαδόν_37.png
Μέγιστο εμβαδόν_37.png (22.94 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Ας είναι O το κέντρο του ημικυκλίου .\left( {SPT} \right) = \left( {SPB} \right) γιατί η SP διέρχεται πάντα από το μέσο του BT .

Αλλά το SO//PB ως κάθετες στην AT,συνεπώς : \left( {SPB} \right) = \left( {OPB} \right) ..

Αλλά το \displaystyle \left( {OPB} \right) γίνεται μέγιστο όταν η γωνία \theta γίνει ορθή , με ότι αυτό συνεπάγεται.

Ένα σχόλιο. Υγεία και χρόνια πολλά σε όλους

Η πρώτη λύση του Γιώργου του Ρίζου , άνοιξε το δρόμο δίνοντας πλήρη λύση .

Πάντα ο Αλέξανδρος δίδει θαυμάσιες λύσεις.

Όλες οι λύσεις που διάβασα μου άρεσαν ( Η πιο πάνω λύση μου στηρίζεται στην λύση του Γιώργου του Βισβίκη

Ο Θανάσης μας έδωσε ακόμα μια ( μάλλον δική του ) ωραία άσκηση .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης