Τριπλή διπλοϊσότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12633
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριπλή διπλοϊσότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 21, 2020 2:56 pm

Τριπλή  διπλοϊσότητα.png
Τριπλή διπλοϊσότητα.png (18.52 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
Το ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC=  b ) , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , ακτίνας r=4 .

Φέρω : CT\perp AB . Αν για σημείο S της AC , ισχύουν : TS=CT , AS=BT , υπολογίστε το b .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10553
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριπλή διπλοϊσότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 21, 2020 5:37 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 21, 2020 2:56 pm
Τριπλή διπλοϊσότητα.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο ABC , ( AB=AC=  b ) , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , ακτίνας r=4 .

Φέρω : CT\perp AB . Αν για σημείο S της AC , ισχύουν : TS=CT , AS=BT , υπολογίστε το b .
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι \displaystyle M\widehat OC = \widehat A,\cos A = \frac{{b - x}}{b} και με νόμο συνημιτόνου στο \displaystyle AOC,

\displaystyle {b^2} = 32 + 32\frac{{b - x}}{b} \Leftrightarrow x = \frac{{b(64 - {b^2})}}{{32}}. Θέτω \boxed{t = \frac{x}{b} = \frac{{64 - {b^2}}}{{32}}} (1)
Τριπλή διπλοϊσότητα.png
Τριπλή διπλοϊσότητα.png (23.06 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
\displaystyle {b^2} - {(b - x)^2} = T{C^2} = T{S^2} = {(b - x)^2} + {x^2} - 2x(b - x)\frac{{b - x}}{x} \Leftrightarrow

\displaystyle 2{x^3} - 7b{x^2} + 6{b^2}x - {b^3} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 2{t^3} - 7{t^2} + 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow (t - 1)(2{t^2} - 5t + 1) = 0,

Απ' όπου παίρνω τις ρίζες \displaystyle t = 1,t = \frac{{5 - \sqrt {17} }}{4},t = \frac{{5 + \sqrt {17} }}{4}. Αλλά από την (1), \displaystyle 2 - t = \frac{{{b^2}}}{{32}} > 0 \Leftrightarrow t < 2

Οπότε η τρίτη ρίζα απορρίπτεται. Εξάλλου, η ρίζα t=1 αναφέρεται στην ακραία περίπτωση όπου το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές. Άρα η μόνη δεκτή ρίζα είναι η δεύτερη, που δίνει \boxed{ b = 2\sqrt {6 + 2\sqrt {17} }}


Σημείωση: Αν το S είναι σημείο της ευθείας AC (και όχι αποκλειστικά της πλευράς), τότε η άσκηση επαληθεύεται και από το ισόπλευρο τρίγωνο ABC.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7976
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριπλή διπλοϊσότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 22, 2020 1:29 pm

Έστω D, η προβολή του T στην AC.Από Π. Θ. στα \vartriangle TACκαι \vartriangle TBC, έχω:

A{C^2} = A{T^2} + T{C^2} \Rightarrow {b^2} = {\left( {b - x} \right)^2} + {h^2} \Rightarrow {b^2} = {b^2} + {x^2} - 2bx + {a^2} - {x^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{a^2}}}{{2b}}}\,\,\left( 1 \right)

Από τη σχέση : {b^2} = 2rh στο \vartriangle ABC έχω: CB \cdot CA = 8CT , δηλαδή :

ab = 8\sqrt {{a^2} - {x^2}}  \Rightarrow {a^2}{b^2} = 64\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{16{a^2} = {b^2}\left( {64 - {b^2}} \right)}\,\,\left( 2 \right).
τριπλή διπλο_ισότητα.png
τριπλή διπλο_ισότητα.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
Από το Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle TAC έχω:

T{C^2} = CD \cdot CA \Rightarrow 2{h^2} = \left( {b - x} \right)b \Rightarrow 2{a^2} - 2{x^2} = {b^2} - bx , που λόγω της \left( 1 \right) δίδει την ομογενή σχέση :

{a^4} - 5{a^2}{b^2} + 2{b^4} = 0 . Θέτω \boxed{{a^2} = {b^2}y}\, και προκύπτει : \boxed{{y^2} - 5y + 2 = 0} \left( 3 \right)

Ενώ και η \left( 2 \right) από τον ίδιο μετασχηματισμό \boxed{{a^2} = {b^2}y}\, δίδει :

16y = 64 - {b^2} \Rightarrow \boxed{{b^2} = 16\left( {4 - y} \right)\,\,\,\left( 4 \right)} . Επειδή 4 - y > 0 \Rightarrow y < 4 άρα από τις ρίζες

της \left( 3 \right) δεκτή είναι η y = \dfrac{{5 - \sqrt {17} }}{2} και τότε η \left( 4 \right) δίδει : \boxed{b = 2\sqrt {6 + 2\sqrt {17} } }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot], STOPJOHN και 1 επισκέπτης