Μεγάλες κατασκευές 42

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 42

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 19, 2020 9:08 pm

Μεγάλες  κατασκευές 42.png
Μεγάλες κατασκευές 42.png (8.48 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
Σας δίνω το τμήμα BC=a και σας ζητώ να κατασκευάσετε το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 42

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 20, 2020 1:12 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:08 pm
Μεγάλες κατασκευές 42.pngΣας δίνω το τμήμα BC=a και σας ζητώ να κατασκευάσετε το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος .
Ανάλυση
Μεγάλες_κατασκευές 42_ανάλυση.png
Μεγάλες_κατασκευές 42_ανάλυση.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Έστω λυμένο το πρόβλημα. Αν θέσω SB = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = k θα είναι : SD = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SA = 2k

Από Π. Θεώρημα στα \vartriangle ABD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BAC έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  A{B^2} = B{D^2} - A{D^2} \hfill \\ 
  A{B^2} = A{C^2} - B{C^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow B{D^2} - A{D^2} = A{C^2} - B{C^2}. Δηλαδή :

\displaystyle 9\left( {{m^2} - {k^2}} \right) = 3{a^2} \Leftrightarrow \boxed{{{\left( {2m} \right)}^2} - {{\left( {2k} \right)}^2} = \frac{{4{a^2}}}{3}} αν λοιπόν E η προβολή του Sστην AD,

Η προηγούμενη σχέση από το 2ο Θ διαμέσων στο \vartriangle SADγράφεται : \boxed{EM = \frac{a}{3}}.

Κατασκευή
Μεγάλες_κατασκευές 42_Κατασκευή.png
Μεγάλες_κατασκευές 42_Κατασκευή.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα AB = 2a και το μέσον του M

Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο TAB γράφω τον κύκλο \left( {T,A,\,\,B} \right) και θεωρώ στο AM σημείο E τέτοιο ώστε: AE = 2EM

Η κάθετη στο E επί την AD τέμνει τον κύκλο \left( {T,A,\,\,B} \right) σε δύο σημεία και ονομάζω S το πιο μακρινό από τηνAD.

Φέρνω την κάθετη στην AD στο A που τέμνει την ημιευθεία DS στο B.

Η από το B παράλληλη στην AD τέμνει την ημιευθεία AS στο C.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5639
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 42

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Δεκ 20, 2020 8:37 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:08 pm
Σας δίνω το τμήμα BC=a και σας ζητώ να κατασκευάσετε το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος .
H τομή του τόξου h με την κάθετη ευθεία Ax στην ευθεία AD δίνει το σημείο B, οπότε παίρνουμε και το σημείο C.
ζ.png
ζ.png (67.28 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 42

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 20, 2020 11:49 am

Μία μετρική. Αρκεί να υπολογίσω το ύψος h του τραπεζίου. Είναι \boxed{A{C^2} = {a^2} + {h^2}} και \boxed{BD^2=4a^2+h^2}
Μεγάλες κατασκευές.42.png
Μεγάλες κατασκευές.42.png (9.6 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
Με νόμο συνημιτόνου στο SAD, \boxed{{h^2} = A{S^2} + D{S^2} + AS \cdot DS} Αλλά, \displaystyle AS = \frac{2}{3}AC,DS = \frac{1}{3}BD, και

\displaystyle \frac{{3a}}{2}h = (ABCD) = \frac{1}{2}AC \cdot BD\sin 60^\circ  \Leftrightarrow AC \cdot BD = 2ah\sqrt 3. Αντικαθιστώντας τώρα, έχω:

\displaystyle {h^2} = \frac{4}{9}({a^2} + {h^2}) + \frac{1}{9}(4{a^2} + {h^2}) + \frac{4}{9}ah\sqrt 3  \Leftrightarrow {h^2} - ah\sqrt 3  - 2{a^2}\mathop  = \limits^{h > 0} 0 \Leftrightarrow \boxed{h = \frac{a}{2}\left( {\sqrt {11}  + \sqrt 3 } \right)}


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Μεγάλες κατασκευές 42

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Κυρ Δεκ 20, 2020 12:06 pm

Αρκεί να βρεθεί το μήκος της AB
Είναι AB=\tan \widehat{ADB}\cdot 2a \ (1)
Και AB=\tan \widehat{ACB}\cdot a \ (2)
(1),(2)\Rightarrow 2\tan \widehat{ADB}=\tan \widehat{ACB}=\tan (120^{\circ}- \widehat{ADB}) (3)
Έστω \tan \widehat{ADB}=x
Τότε (3)\Leftrightarrow 2x=\dfrac{-\sqrt 3 -x}{1-x\sqrt 3}\Leftrightarrow  x=\dfrac{3 \pm \sqrt {33}}{4\sqrt 3}
Παίρνουμε τη θετική ρίζα διότι x=\tan \widehat{ADB}>0
Έτσι από την (1) είναι AB=\dfrac{a}{2}\cdot (\sqrt 3+\sqrt {11})


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μεγάλες κατασκευές 42

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Κυρ Δεκ 20, 2020 11:47 pm

Η κατασκευή μου, όπως και του Νίκου, το σημείο S προσδιορίζεται σαν η τομή
του περιγεγραμμένου στο ισόπλευρο τρίγωνο ADG (πλευράς 2a),
και της καθέτου επί της βάσεως στο σημείο E, όπου 3AE=AD.
Η αιτιολόγηση έχει ως εξης:

Επειδή τα ζεύγη ομοίων τριγώνων BCS\sim DAS, \ BNS\sim DES, \ CNS\sim AES
έχουν λόγο ομολόγων πλευρών 1:2 θα είναι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& AE = 2NC = 2(BC-BN)=AD-2AE \rightarrow \cr 
& 3AE = AD \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_mcat42.png
rsz_mcat42.png (64.47 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 42

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 21, 2020 10:05 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:08 pm
Μεγάλες κατασκευές 42.pngΣας δίνω το τμήμα BC=a και σας ζητώ να κατασκευάσετε το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος .
Μεγάλες_κατασκευές 42_ανάλυση_new_1.png
Μεγάλες_κατασκευές 42_ανάλυση_new_1.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Ας είναι M το μέσο του AB και O,N τα σημεία τομής των διαγωνίων των παραλληλογράμμων:

ABCM( ορθογώνιο) και MDCB. Το S είναι το βαρύκεντρο του \vartriangle CBM.

Αν θέσω λοιπόν SN = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  SB = 2k \hfill \\ 
  ND = 3k \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Έτσι αν E η προβολή του S στο σταθερό

AD = 2a θα είναι \boxed{\frac{{EM}}{{EA}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2}}

(λόγος συζυγίας στην αρμονική σειρά ,\left( {E,D\backslash A,M} \right)τα υπόλοιπα απλά .


Είναι σχετικά στοιχειώδης λύση αλλά κορυφαία όλων, ή πλέον στοιχειώδης λύση του Σωτήρη :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες