Δυο σας και μόνος μου

KARKAR · #1

: Δυο σας και μόνος μου.png (17.04 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C} , \hat{D}$ του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD

,

τέμνονται επί της

. Δείξτε ότι : AD+BC=AB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am
Δυο σας και μόνος μου.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C} , \hat{D}$ του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ,

τέμνονται επί της . Δείξτε ότι : .

Ο περίκυκλος του DSC

επανατέμνει την

στο

: Δυο σας και μόνος μου.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Είναι, $\displaystyle D\widehat TA = \frac{{\widehat C}}{2},\widehat A + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow A\widehat DT = D\widehat TA = \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow AD = AT$

Ομοίως βρίσκω ότι BC=BT,

άρα $\boxed{AD+BC=AB}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am
Δυο σας και μόνος μου.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C} , \hat{D}$ του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ,

τέμνονται επί της . Δείξτε ότι : .

Κατασκευάζω τον κύκλο (B,BC)

που τέμνει την

στο σημείο

.

Tότε $\hat{B}=180^{0}-2\phi ,\hat{CTB}=\hat{TCB}=\phi =\hat{SDC},$

Δηλαδή το τετράπλευρο DTSC

είναι εγγράψιμο σε κύκλο ,

άρα $\hat{TCS}=\hat{TDS}=\phi -\omega \Rightarrow \hat{ADT}=\omega ,\hat{A}=180-2\omega , \hat{DTA}=\omega ,AD=AT, TB=BC\Rightarrow AB=AD+BC$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am
Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C} , \hat{D}$ του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ,

τέμνονται επί της . Δείξτε ότι : .

Προεκτείνουμε τις AD, BC

ώστε να τέμνονται στο

. Τότε το

είναι παράκεντρο του KDE

και άρα η

διχοτομεί την

.

Φέρνουμε την EF// CD

οπότε $\angle DAS = \angle DCK=\angle EFC$ οπότε εύκολα βλέπουμε ότι AB=EF

και ότι τα τρίγωνα $AES,\,SBF$ είναι ίσα και άρα AE=FB

. Επίσης το τρίγωνο DAE

είναι ισοσκελές διότι $\angle EDS=D/2=\angle ESD$ , οπότε DE=ES

. Όμοια

. Άρα

Δυο σας και μόνος μου

Δυο σας και μόνος μου

Re: Δυο σας και μόνος μου

Re: Δυο σας και μόνος μου

Re: Δυο σας και μόνος μου

Μέλη σε σύνδεση