Δυο σας και μόνος μου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δυο σας και μόνος μου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am

Δυο  σας  και μόνος μου.png
Δυο σας και μόνος μου.png (17.04 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Οι διχοτόμοι των γωνιών \hat{C} , \hat{D} του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD ,

τέμνονται επί της AB . Δείξτε ότι : AD+BC=AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δυο σας και μόνος μου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 19, 2020 10:20 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am
Δυο σας και μόνος μου.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών \hat{C} , \hat{D} του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD ,

τέμνονται επί της AB . Δείξτε ότι : AD+BC=AB .
Ο περίκυκλος του DSC επανατέμνει την AB στο T.
Δυο σας και μόνος μου.png
Δυο σας και μόνος μου.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
Είναι, \displaystyle D\widehat TA = \frac{{\widehat C}}{2},\widehat A + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow A\widehat DT = D\widehat TA = \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow AD = AT

Ομοίως βρίσκω ότι BC=BT, άρα \boxed{AD+BC=AB}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2073
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Δυο σας και μόνος μου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 19, 2020 4:53 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am
Δυο σας και μόνος μου.pngΟι διχοτόμοι των γωνιών \hat{C} , \hat{D} του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD ,

τέμνονται επί της AB . Δείξτε ότι : AD+BC=AB .
Κατασκευάζω τον κύκλο (B,BC) που τέμνει την AB στο σημείο T.

Tότε \hat{B}=180^{0}-2\phi ,\hat{CTB}=\hat{TCB}=\phi =\hat{SDC},

Δηλαδή το τετράπλευρο DTSC είναι εγγράψιμο σε κύκλο ,

άρα \hat{TCS}=\hat{TDS}=\phi -\omega \Rightarrow \hat{ADT}=\omega ,\hat{A}=180-2\omega ,

     \hat{DTA}=\omega ,AD=AT,

TB=BC\Rightarrow AB=AD+BC
Συνημμένα
Δυο σας και μόνος μου.png
Δυο σας και μόνος μου.png (79.91 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δυο σας και μόνος μου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 19, 2020 6:32 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Δεκ 19, 2020 9:21 am
Οι διχοτόμοι των γωνιών \hat{C} , \hat{D} του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD ,

τέμνονται επί της AB . Δείξτε ότι : AD+BC=AB .
Προεκτείνουμε τις AD, BC ώστε να τέμνονται στο K. Τότε το S είναι παράκεντρο του KDE και άρα η KS διχοτομεί την K.

Φέρνουμε την  EF// CD οπότε \angle DAS = \angle DCK=\angle EFC οπότε εύκολα βλέπουμε ότι AB=EF και ότι τα τρίγωνα AES,\,SBF είναι ίσα και άρα AE=FB. Επίσης το τρίγωνο DAE είναι ισοσκελές διότι \angle EDS=D/2=\angle ESD, οπότε DE=ES. Όμοια CF=SF. Άρα

AD+BC=AD+(BF+FC)=AD+(AE+FC)=(AD+AE)+FC =
= DE+FC=ES+SF=EF=AB
Συνημμένα
egkentro parakentro 2.png
egkentro parakentro 2.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες