ΕνδιαΦέρων λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

ΕνδιαΦέρων λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Δεκ 18, 2020 10:57 pm

Χαίρετε! Το παρόν έχει αφετηρία το θέμα ΤΟΥΤΟ και είναι -κατά κάποιο τρόπο- γενίκευσή του.
ΕνδιαΦέρων λόγος.png
ΕνδιαΦέρων λόγος.png (111.36 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Στο σχήμα το S \in OA , είναι OP \parallel ST και E η τομή των AP,ST. Αν δοθούν \dfrac{ET}{ES}=k και \dfrac{\left ( PES \right )}{\left ( ETA \right )}=n τότε
I) Να εκφραστεί ως συνάρτηση των k,n ο λόγος \dfrac{OA}{AS}=y και

ΙΙ) Αν επιπλέον ισχύει kny=1 τότε βρείτε τον .. :) ..ενδια\Phiέροντα λόγο \dfrac{OA}{AS}=y


Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: ΕνδιαΦέρων λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Δεκ 19, 2020 7:43 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Δεκ 18, 2020 10:57 pm
Χαίρετε! Το παρόν έχει αφετηρία το θέμα ΤΟΥΤΟ και είναι -κατά κάποιο τρόπο- γενίκευσή του.
ΕνδιαΦέρων λόγος.png
Στο σχήμα το S \in OA , είναι OP \parallel ST και E η τομή των AP,ST. Αν δοθούν \dfrac{ET}{ES}=k και \dfrac{\left ( PES \right )}{\left ( ETA \right )}=n τότε
I) Να εκφραστεί ως συνάρτηση των k,n ο λόγος \dfrac{OA}{AS}=y και

ΙΙ) Αν επιπλέον ισχύει kny=1 τότε βρείτε τον .. :) ..ενδια\Phiέροντα λόγο \dfrac{OA}{AS}=y


Σας ευχαριστώ, Γιώργος.


Καλημέρα Γιώργο

Εστω AM\perp ST,ON\perp TS,


Τότε ST//OP\Rightarrow (ESO)=(EPS),\dfrac{(ESO)}{(ETA)}=n\Rightarrow \dfrac{ES.ON}{ET.AM}=n

\Rightarrow \dfrac{ON}{AM}=kn,(1), \dfrac{OA}{AS}=y\Rightarrow \dfrac{OS}{AS}=y-1,(2),


 (1),(2)\Rightarrow    y=nk+1,(3)

ΙΙ) Ισχύουν

kny=1, y=nk+1


Συνεπώς y=\dfrac{1}{y}+1\Leftrightarrow y^{2}-y-1=0\Rightarrow y=\Phi
Συνημμένα
Ενδιαφέρων λόγος.png
Ενδιαφέρων λόγος.png (64 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΕνδιαΦέρων λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 20, 2020 2:14 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Δεκ 18, 2020 10:57 pm
Χαίρετε! Το παρόν έχει αφετηρία το θέμα ΤΟΥΤΟ και είναι -κατά κάποιο τρόπο- γενίκευσή του.
ΕνδιαΦέρων λόγος.png
Στο σχήμα το S \in OA , είναι OP \parallel ST και E η τομή των AP,ST. Αν δοθούν \dfrac{ET}{ES}=k και \dfrac{\left ( PES \right )}{\left ( ETA \right )}=n τότε
I) Να εκφραστεί ως συνάρτηση των k,n ο λόγος \dfrac{OA}{AS}=y και

ΙΙ) Αν επιπλέον ισχύει kny=1 τότε βρείτε τον .. :) ..ενδια\Phiέροντα λόγο \dfrac{OA}{AS}=y


Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Κάπως διαφορετικά.

Θέτω : \left( {PES} \right) = N \Rightarrow \left( {ESO} \right) = N γιατί το τετράπλευρο ESOP είναι τραπέζιο.

Επίσης ας είναι \left( {EAS} \right) = F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {ETA} \right) = Z.
Για τρίγωνα του ίδιου ύψους ο λόγος των εμβαδών ισούται με το λόγο των βάσεων.
Ενδιαφέρων λόγος_Μήτσιου.png
Ενδιαφέρων λόγος_Μήτσιου.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{{OA}}{{AS}} = \frac{{F + N}}{F} = 1 + \frac{N}{F}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  k = \frac{{ET}}{{ES}} = \frac{Z}{F}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ 
  n = \frac{{\left( {PES} \right)}}{{\left( {ETA} \right)}} = \frac{N}{Z}\,\,\left( 3 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Πολλαπλασιάζω τις \left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right) κατά μέλη κι έχω: kn = \dfrac{N}{F} οπότε η \left( 1 \right) δίδει:

y = kn + 1 \Rightarrow {y^2} = kny + y \Rightarrow {y^2} - y - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{y = \varphi }


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: ΕνδιαΦέρων λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Κυρ Δεκ 20, 2020 9:58 am

Πάλι κάπως διαφορετικά...

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
\left. 
\begin{aligned} 
{(PES) \over (ETA)} &= n \cr 
{ET \over ES} = {(ETA) \over (ESA)} &= k \cr 
\end{aligned} 
\right\} & \rightarrow {(PES) \over (ESA)} =nk \rightarrow {(PAS) \over (ESA)} =nk+1 \cr 
             & \rightarrow {PA \over AE} =nk+1 \rightarrow {OA \over AS} =nk+1 \rightarrow y =nk+1 \cr 
 
\end{aligned} 
}

Πολλαπλασιάζοντας τώρα τα δύο μέλη της παραπάνω με y και δοθέντος ότι nky=1, έχω

\displaystyle{ 
y^2 =nky +y \rightarrow y^2 = y + 1 \rightarrow y=\phi 
}
Συνημμένα
rsz_e-logos.png
rsz_e-logos.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: 2nisic και 1 επισκέπτης