Μεγάλες κατασκευές 40

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγάλες κατασκευές 40

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 16, 2020 9:24 pm

Μεγάλες  κατασκευές 40.png
Μεγάλες κατασκευές 40.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Στο άκρο C γνωστού τμήματος BC , με μέσο M , μια ημιευθεία Cx , σχηματίζει με το τμήμα ,

γωνία \widehat{BCx}=40^0 . Επί της ημιευθείας εντοπίστε σημείο A , ώστε : \widehat{BAM}=40^0 .

Στην συνέχεια δείξτε ότι : AB\cdot AC= AM\cdot BC ( Διερεύνηση ! )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 40

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 16, 2020 10:07 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 16, 2020 9:24 pm
Μεγάλες κατασκευές 40.pngΣτο άκρο C γνωστού τμήματος BC , με μέσο M , μια ημιευθεία Cx , σχηματίζει με το τμήμα ,

γωνία \widehat{BCx}=40^0 . Επί της ημιευθείας εντοπίστε σημείο A , ώστε : \widehat{BAM}=40^0 .

Στην συνέχεια δείξτε ότι : AB\cdot AC= AM\cdot BC ( Διερεύνηση ! )
Μεγάλες κατασκευές 40.png
Μεγάλες κατασκευές 40.png (25.9 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Στο B φέρνω ευθεία παράλληλη στην Cx και μετά κάθετη σ αυτή πάλη στο B.

Η μεσοκάθετη στο AM την τέμνει στο K.

Ο κύκλος \left( {K,KB} \right) τέμνει την Cx στα A\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A' που αποτελούν λύσεις στο πρόβλημα

Επειδή η AB εφάπτεται του κύκλου \left( {A,M,C} \right) θα ισχύει : A{B^2} = BM \cdot BC

Ζητώ να δείξω ότι AB \cdot AC = AM \cdot BC άρα αρκεί να δείξω ότι : \boxed{\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{BM}}}

Που ισχύει αφού \vartriangle ABC \approx \vartriangle MBA.
Μεγάλες κατασκευές 40_Διερεύνηση.png
Μεγάλες κατασκευές 40_Διερεύνηση.png (25.08 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Το κερασάκι στην τούρτα (για χειρός KARKAR) .

Η ευθεία και ο κύκλος δεν τέμνονται αν η γωνία ξεπεράσει τις 45^\circ . Ειδικά δε για γωνία 45^\circ έχουμε μια λύση γιατί εφάπτονται.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγάλες κατασκευές 40

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 17, 2020 10:53 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 16, 2020 9:24 pm
Μεγάλες κατασκευές 40.pngΣτο άκρο C γνωστού τμήματος BC , με μέσο M , μια ημιευθεία Cx , σχηματίζει με το τμήμα ,

γωνία \widehat{BCx}=40^0 . Επί της ημιευθείας εντοπίστε σημείο A , ώστε : \widehat{BAM}=40^0 .

Στην συνέχεια δείξτε ότι : AB\cdot AC= AM\cdot BC ( Διερεύνηση ! )
Κατασκευή: Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου BC και έστω N το μέσον του. Ο κύκλος (B, BN) τέμνει την Cx

σε δύο σημεία A, A' που ορίζουν την τρίτη κορυφή του ζητούμενου τριγώνου (το πρόβλημα έχει πάντα δύο λύσεις).
Μεγάλες κατασκευές.40.png
Μεγάλες κατασκευές.40.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

Πράγματι, \displaystyle AB = BN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} = BM \cdot BC \Leftrightarrow B\widehat AM = \widehat C = 40^\circ



\displaystyle A{M^2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\mathop  = \limits^{{a^2} = 2{c^2}} \frac{{{b^2}}}{2} \Leftrightarrow A{M^2} \cdot {a^2} = \frac{{{b^2}}}{2} \cdot 2{c^2} \Leftrightarrow \boxed{AM \cdot BC = AB \cdot AC}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγάλες κατασκευές 40

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 17, 2020 11:45 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 16, 2020 9:24 pm
Μεγάλες κατασκευές 40.pngΣτο άκρο C γνωστού τμήματος BC , με μέσο M , μια ημιευθεία Cx , σχηματίζει με το τμήμα ,

γωνία \widehat{BCx}=40^0 . Επί της ημιευθείας εντοπίστε σημείο A , ώστε : \widehat{BAM}=40^0 .

Στην συνέχεια δείξτε ότι : AB\cdot AC= AM\cdot BC ( Διερεύνηση ! )
Μια κατασκευή με Αντιστροφή

Ανάλυση :

Τα σταθερά μας είναι:

Τα σημεία B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C\,\, και όσα απορρέουν εξ αυτών (π.χ. το μέσο Mτου BC) και η ευθεία Cx που σχηματίζει οξεία γωνία \theta με την BC.

Κατασκευή
Μεγάλες κατασκευές 40_με αντιστροφή.png
Μεγάλες κατασκευές 40_με αντιστροφή.png (21.88 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές
Αντιστρέφω την ευθεία με πόλο το B και δύναμη αντιστροφής {k^2} = BM \cdot BC με το

Mεπιλεγμένο σημείο του BC ( π.χ. μέσο ή να τριχοτομεί εσωτερικά το BC κ. λ. π.)

Η ευθεία θα μετασχηματιστεί σε κύκλο που διέρχεται από το B και τέμνει εν γένει την Cx σε δύο σημεία A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A'.

Παρατήρηση .

Η κατασκευή του τμήματος k ( που είναι η ακτίνα του κύκλου αντιστροφής ,

θαλασσί) γίνεται πολύ απλά , αρκεί από το B να φέρω εφαπτόμενο τμήμα σε τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Δείτε σχετικά και το δυναμικό αρχείο geogebra με τρεις δρομείς :

το n για το μήκος του BC ,Το i για το μήκος του MC και το a για το μέτρο της οξείας γωνίας .

Αν επιλέξετε : το n=2i και a=40° , έχετε το δεδομένο πρόβλημα .
Συνημμένα
Μεγάλες κατασκευές 40.ggb
(36.53 KiB) Μεταφορτώθηκε 6 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες