Τμηματική

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τμηματική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:46 am

Τμηματική.png
Τμηματική.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Σημείο S κινείται στο μεγάλο ημικύκλιο , ακτίνας 5 , από το A προς το B . Συνδέουμε το S

με το σημείο T , για το οποίο είναι OT=2 . Το ST τέμνει το μικρό ημικύκλιο ακτίνας 3

στο σημείο P . α) Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο μήκος του SP .

β) Αν δεν το κάνατε ήδη , δημιουργήστε συνάρτηση με μεταβλητή της επιλογής σας ,

η οποία να υπολογίζει το μήκος του SP , για κάθε θέση του S από το A ως το B .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τμηματική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 28, 2020 2:50 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:46 am
Τμηματική.pngΣημείο S κινείται στο μεγάλο ημικύκλιο , ακτίνας 5 , από το A προς το B . Συνδέουμε το S

με το σημείο T , για το οποίο είναι OT=2 . Το ST τέμνει το μικρό ημικύκλιο ακτίνας 3

στο σημείο P . α) Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο μήκος του SP .

β) Αν δεν το κάνατε ήδη , δημιουργήστε συνάρτηση με μεταβλητή της επιλογής σας ,

η οποία να υπολογίζει το μήκος του SP , για κάθε θέση του S από το A ως το B .
Θέτω PT=x, 1\le x\le 5 και εφαρμόζω το θεώρημα \rm Stewart στο τρίγωνο SOT.
Τμηματική.Κ.png
Τμηματική.Κ.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
\displaystyle 25x + 4SP = 9(SP + x) + x(SP + x)SP \Leftrightarrow xS{P^2} + ({x^2} + 5)SP - 16x = 0, απ' όπου

\boxed{ SP = f(x)=\frac{{ - ({x^2} + 5) + \sqrt {{x^4} + 74{x^2} + 25} }}{{2x}}, 1\le x\le 5}

\displaystyle f'(x) = \frac{{({x^2} - 5)\left( {{x^2} - \sqrt {{x^4} + 74{x^2} + 25}  + 5} \right)}}{{2{x^2}\sqrt {{x^4} + 74{x^2} + 25} }}. H f παρουσιάζει λοιπόν:

μέγιστη τιμή \boxed{{SP_{\max }} = \sqrt {21}  - \sqrt 5} για \boxed{x=\sqrt 5} και ελάχιστη τιμή \boxed{{SP_{\min }} = 2} στις θέσεις \boxed{x=1} , \boxed{x=5}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τμηματική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 28, 2020 11:22 pm

Τμηματική_1.png
Τμηματική_1.png (22.96 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Αν M η προβολή του O στην TS και θέσω: OM = x,\,\,MP = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS = y θα είναι :

y = MS - MP = \sqrt {25 - {x^2}}  - \sqrt {9 - {x^2}} \, = \,f(x) και αφού x = OM \leqslant OT = 2\,\,,\,\,x \in \left[ {0,2} \right].

f'\left( x \right) > 0\,\,, για κάθε x \in \left( {0,2} \right) συνεπώς η f γνήσια αύξουσα στο \left[ {0,2} \right], έτσι :

α) Ελάχιστη τιμή παρουσιάζει αν x = 0 το f(0) = 2 και τότε το P συμπίπτει με το D ή το C

β) Μέγιστη τιμή παρουσιάζει αν x = 2 το f(2) = \sqrt {21}  - \sqrt 5 , τότε το M \equiv T και

PT \bot OA.

Παρατήρηση

Το x \in \left[ {0,2} \right] αλλά αν το S διαγράψει το ημικύκλιο από το A έως το B υπάρχει μια ταλάντωση γιατί το x διατρέχει δυο φορές το διάστημα \left[ {0,2} \right]


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης