Γεωμετρικά όρια

KARKAR · #1

: Γεωμετρικά όρια.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, η πλευρά

είναι σταθερή , ενώ η

μεταβλητή και μεγαλύτερή της .

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου εντοπίζουμε το σημείο

, για το οποίο : AS=b , BS=a

.

Υπολογίστε τα όρια : $\displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} , \lim\limits_{a \to +\infty}\dfrac{(ADS)}{(CDS)}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 27, 2020 3:08 pm
Γεωμετρικά όρια.pngΣτο ορθογώνιο , η πλευρά είναι σταθερή , ενώ η μεταβλητή και μεγαλύτερή της .

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου εντοπίζουμε το σημείο , για το οποίο : .

Υπολογίστε τα όρια : $\displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} , \lim\limits_{a \to +\infty}\dfrac{(ADS)}{(CDS)}$

Θέτουμε $\angle SAD= 2 \theta$ , οπότε $\angle SAB = 90-2\theta$ και $\angle SDA = \angle DSA= 90 - \theta$ και άρα $\angle SDC= \theta$ .

Επίσης, από το ισοσκελές τρίγωνο ABS

είναι $\sin 2 \theta = \cos (90 -2\theta)= \frac {SA/2}{AB} = \frac {b}{2a}\, (*)$ .

Για χρήση παρακάτω, παίροντας όριο του $a\to b$ στο τελευταίο δίνει ότι $\sin 2\theta \to \frac {1}{2}$ και άρα $2\theta \to 30$ . Όμοια για $a\to \infty$ παίρνουμε $\sin 2\theta \to 0$ , άρα $\theta \to 0$ .

Τώρα, με χρήση της (*)

στο τελευταίο βήμα

$\displaystyle \dfrac{(ADS)}{(CDS)} =\dfrac{\frac {1}{2} b^2 \sin 2\theta }{\frac {1}{2}SD \cdot CD \sin \theta }= \dfrac{\frac {1}{2} b^2 \sin 2\theta }{\frac {1}{2} (2b\sin \theta )a \sin \theta }= \dfrac{ b }{a} \dfrac{ \cos \theta }{\sin \theta } = 2\sin 2 \theta \cdot \dfrac{ \cos \theta }{\sin \theta } =$

$\displaystyle{= 4 \cos ^2 \theta= 2(1+ \cos 2\theta)}$

Άρα

$\displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} = 2+ \sqrt 3$ και $\displaystyle \lim\limits_{a \to \infty }\dfrac{(ADS)}{(CDS)} = 4$

(αν δεν μου έφυγε καμμιά πράξη, αλλά στην ουσία είναι σωστό)

#3

Ας είναι $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ οι προβολές του

στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ . Θέτω

$\boxed{AT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AF = y}$ . Άμεσες συνέπειες: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = {b^2}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 2\left( {ADS} \right) = bx\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ 2\left( {CDS} \right) = a\left( {b - y} \right)\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Ας είναι ακόμα TB = k = a - x

. Από το Π. Θ. στο $\vartriangle TSB$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω:

$\boxed{a = \frac{{{b^2}}}{{2x}}}$ κι έτσι η συνάρτηση που μας δίδει το πηλίκο :

$\boxed{\frac{{\left( {ADS} \right)}}{{\left( {CDS} \right)}} = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{b(b - \sqrt {{b^2} - {x^2}} )}} = \frac{{2\left( {b + \sqrt {{b^2} - {x^2}} } \right)}}{b}}$ και άρα :

: γεωμετρικά όρια.png (17.24 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

α) Άν $a \to b$ τότε $\boxed{x \to \frac{b}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{b}{2}} f\left( x \right) = 2 + \sqrt 3 }$

β) Αν $a \to + \infty$ τότε $\boxed{x \to 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 4}$

Πολύ ωραίο θέμα , επιπέδου πανελληνίων .

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 27, 2020 7:16 pm

Πολύ ωραίο θέμα , επιπέδου πανελληνίων .

Αν έμπαινε σε Πανελλήνιες θα έπεφτε πολύ κλάμα Ας αναλογιστούμε τι συμβαίνει

όταν εμπλέκεται η Γεωμετρία στις Πανελλήνιες και σε πολύ ευκολότερα θέματα.

Αύριο θα γράψω τη λύση μου (αν στο μεταξύ δεν συμπέσει με κάποιου άλλου).

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 27, 2020 3:08 pm
Γεωμετρικά όρια.pngΣτο ορθογώνιο , η πλευρά είναι σταθερή , ενώ η μεταβλητή και μεγαλύτερή της .

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου εντοπίζουμε το σημείο , για το οποίο : .

Υπολογίστε τα όρια : $\displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} , \lim\limits_{a \to +\infty}\dfrac{(ADS)}{(CDS)}$

Έστω

οι προβολές του

στις πλευρές DC, AB

αντίστοιχα και

το μέσο του AS.

Έστω ακόμα $\displaystyle A\widehat BM = D\widehat AE = \omega$ (συμπληρωματικές της ίδιας γωνίας). Είναι $\displaystyle \sin \omega = \frac{b}{{2a}}.$

: Γεωμ. Όρια.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

$\boxed{(ADS) = \frac{1}{2}{b^2}\frac{b}{{2a}} = \frac{{{b^3}}}{{4a}}}$ και $\displaystyle (CDS) = \frac{1}{2}a(b - SF).$ Αλλά, $\displaystyle a(SF) = b(BM) \Leftrightarrow SF = \frac{b}{{2a}}\sqrt {4{a^2} - {b^2}}$

Μετά τις πράξεις βρίσκω $\boxed{(CDS) = \frac{b}{4}\left( {2a - \sqrt {4{a^2} - {b^2}} } \right)}$

Άρα, $\displaystyle \frac{{(ADS)}}{{(CDS)}} = \frac{{{b^2}}}{{a\left( {2a - \sqrt {4{a^2} - {b^2}} } \right)}} = \frac{{{b^2}\left( {2a + \sqrt {4{a^2} - {b^2}} } \right)}}{{a{b^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(ADS)}}{{(CDS)}} = f(a) = 2 + \sqrt {4 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} }$

Εύκολα τώρα, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{a \to b} f(a) = 2 + \sqrt 3$ και $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } f(a) = 2 + 2 = 4$

Γεωμετρικά όρια

Γεωμετρικά όρια

Re: Γεωμετρικά όρια

Re: Γεωμετρικά όρια

Re: Γεωμετρικά όρια

Re: Γεωμετρικά όρια

Μέλη σε σύνδεση