Γεωμετρικά όρια

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12322
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γεωμετρικά όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 27, 2020 3:08 pm

Γεωμετρικά  όρια.png
Γεωμετρικά όρια.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD , η πλευρά b είναι σταθερή , ενώ η a μεταβλητή και μεγαλύτερή της .

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου εντοπίζουμε το σημείο S , για το οποίο : AS=b , BS=a .

Υπολογίστε τα όρια : \displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} , \lim\limits_{a \to +\infty}\dfrac{(ADS)}{(CDS)}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13155
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γεωμετρικά όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 27, 2020 7:08 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 27, 2020 3:08 pm
Γεωμετρικά όρια.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , η πλευρά b είναι σταθερή , ενώ η a μεταβλητή και μεγαλύτερή της .

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου εντοπίζουμε το σημείο S , για το οποίο : AS=b , BS=a .

Υπολογίστε τα όρια : \displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} , \lim\limits_{a \to +\infty}\dfrac{(ADS)}{(CDS)}
Θέτουμε \angle SAD= 2 \theta, οπότε \angle SAB = 90-2\theta και \angle SDA = \angle DSA= 90 - \theta και άρα \angle SDC=  \theta.

Επίσης, από το ισοσκελές τρίγωνο ABS είναι \sin 2 \theta = \cos (90 -2\theta)= \frac {SA/2}{AB} = \frac {b}{2a}\, (*).

Για χρήση παρακάτω, παίροντας όριο του a\to b στο τελευταίο δίνει ότι  \sin 2\theta \to \frac {1}{2} και άρα 2\theta \to 30 . Όμοια για a\to \infty παίρνουμε  \sin 2\theta \to 0, άρα \theta \to 0.

Τώρα, με χρήση της (*) στο τελευταίο βήμα

\displaystyle \dfrac{(ADS)}{(CDS)} =\dfrac{\frac {1}{2} b^2 \sin 2\theta }{\frac {1}{2}SD \cdot CD \sin \theta  }= \dfrac{\frac {1}{2} b^2 \sin 2\theta }{\frac {1}{2} (2b\sin \theta )a \sin \theta  }= \dfrac{ b  }{a}  \dfrac{ \cos  \theta }{\sin \theta } = 2\sin 2 \theta \cdot \dfrac{ \cos  \theta }{\sin \theta } =

\displaystyle{= 4 \cos ^2 \theta= 2(1+ \cos 2\theta)}

Άρα

\displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} = 2+ \sqrt 3 και \displaystyle \lim\limits_{a \to \infty }\dfrac{(ADS)}{(CDS)} = 4

(αν δεν μου έφυγε καμμιά πράξη, αλλά στην ουσία είναι σωστό)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικά όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 27, 2020 7:16 pm

Ας είναι T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F οι προβολές του S στις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD . Θέτω

\boxed{AT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AF = y} . Άμεσες συνέπειες: \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} + {y^2} = {b^2}\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 
  2\left( {ADS} \right) = bx\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ 
  2\left( {CDS} \right) = a\left( {b - y} \right)\,\,\left( 3 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Ας είναι ακόμα TB = k = a - x . Από το Π. Θ. στο \vartriangle TSB και λόγω της \left( 1 \right) έχω:

\boxed{a = \frac{{{b^2}}}{{2x}}} κι έτσι η συνάρτηση που μας δίδει το πηλίκο :

\boxed{\frac{{\left( {ADS} \right)}}{{\left( {CDS} \right)}} = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{b(b - \sqrt {{b^2} - {x^2}} )}} = \frac{{2\left( {b + \sqrt {{b^2} - {x^2}} } \right)}}{b}} και άρα :
γεωμετρικά όρια.png
γεωμετρικά όρια.png (17.24 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
α) Άν a \to b τότε \boxed{x \to \frac{b}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{b}{2}} f\left( x \right) = 2 + \sqrt 3 }

β) Αν a \to  + \infty τότε \boxed{x \to 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 4}


Πολύ ωραίο θέμα , επιπέδου πανελληνίων .
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Νοέμ 27, 2020 9:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10176
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρικά όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 27, 2020 7:35 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Νοέμ 27, 2020 7:16 pm

Πολύ ωραίο θέμα , επιπέδου πανελληνίων .

Αν έμπαινε σε Πανελλήνιες θα έπεφτε πολύ κλάμα :? Ας αναλογιστούμε τι συμβαίνει

όταν εμπλέκεται η Γεωμετρία στις Πανελλήνιες και σε πολύ ευκολότερα θέματα.




Αύριο θα γράψω τη λύση μου (αν στο μεταξύ δεν συμπέσει με κάποιου άλλου).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10176
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γεωμετρικά όρια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 28, 2020 11:12 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 27, 2020 3:08 pm
Γεωμετρικά όρια.pngΣτο ορθογώνιο ABCD , η πλευρά b είναι σταθερή , ενώ η a μεταβλητή και μεγαλύτερή της .

Στο εσωτερικό του ορθογωνίου εντοπίζουμε το σημείο S , για το οποίο : AS=b , BS=a .

Υπολογίστε τα όρια : \displaystyle \lim\limits_{a \to b}\dfrac{(ADS)}{(CDS)} , \lim\limits_{a \to +\infty}\dfrac{(ADS)}{(CDS)}
Έστω E, F οι προβολές του S στις πλευρές DC, AB αντίστοιχα και M το μέσο του AS.

Έστω ακόμα \displaystyle A\widehat BM = D\widehat AE = \omega (συμπληρωματικές της ίδιας γωνίας). Είναι \displaystyle \sin \omega  = \frac{b}{{2a}}.
Γεωμ. Όρια.png
Γεωμ. Όρια.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
\boxed{(ADS) = \frac{1}{2}{b^2}\frac{b}{{2a}} = \frac{{{b^3}}}{{4a}}} και \displaystyle (CDS) = \frac{1}{2}a(b - SF). Αλλά, \displaystyle a(SF) = b(BM) \Leftrightarrow SF = \frac{b}{{2a}}\sqrt {4{a^2} - {b^2}}

Μετά τις πράξεις βρίσκω \boxed{(CDS) = \frac{b}{4}\left( {2a - \sqrt {4{a^2} - {b^2}} } \right)}

Άρα, \displaystyle \frac{{(ADS)}}{{(CDS)}} = \frac{{{b^2}}}{{a\left( {2a - \sqrt {4{a^2} - {b^2}} } \right)}} = \frac{{{b^2}\left( {2a + \sqrt {4{a^2} - {b^2}} } \right)}}{{a{b^2}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(ADS)}}{{(CDS)}} = f(a) = 2 + \sqrt {4 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} }

Εύκολα τώρα, \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{a \to b} f(a) = 2 + \sqrt 3 και \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } f(a)  = 2 + 2 = 4


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης