Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12638
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 25, 2020 8:47 pm

Τόπος σημείου και σημείο  σε  τόπο.png
Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο.png (7.31 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
Η βάση BC=a , του τριγώνου ABC είναι σταθερή . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής A ,

ώστε να ισχύει : \dfrac{b^2+c^2}{a^2}=2 . Πως θα επιλέξουμε εκείνο το A του τόπου , για το οποίο : \hat{A}=45^0 ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 25, 2020 11:46 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 25, 2020 8:47 pm
Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο.pngΗ βάση BC=a , του τριγώνου ABC είναι σταθερή . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής A ,

ώστε να ισχύει : \dfrac{b^2+c^2}{a^2}=2 . Πως θα επιλέξουμε εκείνο το A του τόπου , για το οποίο : \hat{A}=45^0 ;
Γενικότερα (και γνωστό) αν b^2+c^2= σταθερό (εδώ 2a^2) το A κινείται σε κύκλο με κέντρο το μέσον της BC. Προκύπτει αμέσως από την τύπο
\displaystyle{m^2_a= \frac {1}{2}(b^2+c^2) -\frac {a^2}{4} } για την διάμεσο. Ειδικά εδώ ο κύκλος είναι με \displaystyle{m^2_a= \frac {1}{2}(2a^2) -\frac {a^2}{4} }, οπότε m_a= \frac {a\sqrt 3}{2} .

Για A=45^o κοιτάμε την τομή του παραπάνω κύκλου με το τόξο (και το συμμετρικό του) των σημείων που βλέπεουν την χορδή BC υπό A=45^o.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 26, 2020 12:51 am

α)Ας είναι O το μέσο του BC, Από το 1ο Θ. διαμέσων στο \vartriangle ABC έχω:

\boxed{A{B^2} + A{C^2} = 2A{O^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}}. Αν λοιπόν AO = x προκύπτει και λόγω της υπόθεσης :

\displaystyle \boxed{x = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} , συνεπώς ο κύκλος \boxed{\left( {O,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)} είναι ο τόπος που ζητάμε.

Κατασκευή
Τόπος σημείου και σημείου τόπος.png
Τόπος σημείου και σημείου τόπος.png (27.64 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
Θεωρώ ισόπλευρο τρίγωνο SBC τότε \boxed{x = OS}

α) γράφω ημικύκλιο διαμέτρου BC εις τρόπον ώστε να τμήση το OS στο M.

Ας είναι δε και K το συμμετρικό του Mως προς το O.

Το μη κυρτογώνιο τόξο κέντρου K ( είτε M) και ακτίνας KC τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία

A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A' που είναι αυτά που θέλω καθώς και τα συμμετρικά τους ως προς την BC.

Η απόδειξη απλή.

Εβαλα κι ένα σχηματάκι :lol:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:01 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 25, 2020 8:47 pm
Τόπος σημείου και σημείο σε τόπο.pngΗ βάση BC=a , του τριγώνου ABC είναι σταθερή . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής A ,

ώστε να ισχύει : \dfrac{b^2+c^2}{a^2}=2 . Πως θα επιλέξουμε εκείνο το A του τόπου , για το οποίο : \hat{A}=45^0 ;
1.b^2+c^2=2AM^2+ \dfrac{a^2}{2}  \Rightarrow 2a^2=2AM^2+ \dfrac{a^2}{2}   \Rightarrow AM= \dfrac{a \sqrt{3} }{2}

Άρα το A ανήκει σε κύκλο (M,\dfrac{a \sqrt{3} }{2})

2.Θεωρούμε τη χορδή AD//BC με απόστημα \dfrac{a}{2} και τα αντιδιαμετρικά A’,D’ των A,D

Αυτές είναι οι ζητούμενες θέσεις της τρίτης κορυφής του τριγώνου

Πράγματι,είναι  \angle BNC=90^0 κι εύκολα προκύπτει BN=NA=NC= \dfrac{a \sqrt{2} }{2} οπότε AB^2+BD^2=AD^2=2a^2

και λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου ABCD είναι  BD=AC=b ,αρα  b^2+c^2=2a^2

Θεωρώντας τον κύκλο N,NB είναι \angle BAC= \angle BDC= \angle BD'C= \angle BA'Ç=45^0 (σχέση επίκεντρης –εγγεγραμμένης)
τόπος.png
τόπος.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης