Αίτημα ισότητας

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αίτημα ισότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 22, 2020 9:04 am

Αίτημα  ισότητας.png
Αίτημα ισότητας.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
\bigstar Σε κύκλο (O,r) , το M είναι το μέσο της χορδής AB και το N το μέσο του MB .

Εντοπίστε σημείο S του μείζονος τόξου \overset{\frown}{AB} , ώστε αν οι SM , SN , τέμνουν τον (O)

στα σημεία P , T αντίστοιχα , να προκύψει : MP=NT . Σχήμα απαραίτητο :mrgreen: .



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αίτημα ισότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:15 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 9:04 am
Αίτημα ισότητας.png\bigstar Σε κύκλο (O,r) , το M είναι το μέσο της χορδής AB και το N το μέσο του MB .

Εντοπίστε σημείο S του μείζονος τόξου \overset{\frown}{AB} , ώστε αν οι SM , SN , τέμνουν τον (O)

στα σημεία P , T αντίστοιχα , να προκύψει : MP=NT . Σχήμα απαραίτητο :mrgreen: .

Θέτοντας r=\frac{AB}{4}
η δύναμη σημείου ως προς κύκλο δίνει

MS.MP=4r^{2},SN.TN=3r^{2}

Αρα \frac{MS}{NS}=\frac{4}{3}

Ετσι το σημείο S βρίσκεται σε Απολλώνιο κύκλο.

Η τομή του με τον αρχικό κύκλο μας δίνει το S

Δεν νομίζω ότι χρειάζεται σχήμα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7719
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αίτημα ισότητας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 23, 2020 10:42 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 9:04 am
Αίτημα ισότητας.png\bigstar Σε κύκλο (O,r) , το M είναι το μέσο της χορδής AB και το N το μέσο του MB .

Εντοπίστε σημείο S του μείζονος τόξου \overset{\frown}{AB} , ώστε αν οι SM , SN , τέμνουν τον (O)

στα σημεία P , T αντίστοιχα , να προκύψει : MP=NT . Σχήμα απαραίτητο :mrgreen: .
Ας είναι AB = 28k . θεωρώ σημεία D\,\,,\,\,E του MN που το χωρίζουν εσωτερικά κι εξωτερικά στο ίδιο λόγο .

Δηλαδή DM = 4k\,\,,\,\,DN = 3k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM = 24k\,\,,\,\,EN = 21k . Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου DE και τέμνει το μεγάλο τόξο χορδής AB στο S.

Αιτημα ισότητας.png
Αιτημα ισότητας.png (18.8 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
Απόδειξη:

Αν x = NT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = MP επειδή οι SD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SE είναι εσωτερική κι εξωτερική διχοτόμοι του \vartriangle SMN , θα έχω:

\left\{ \begin{gathered} 
  xSN = 7k \cdot 21k \hfill \\ 
  ySM = 14k \cdot 14k \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = y}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες