Ομοιότητα και κάλυψη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ομοιότητα και κάλυψη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm

Ομοιότητα  και κάλυψη.png
Ομοιότητα και κάλυψη.png (48.84 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Βρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου ABC , ώστε το τρίγωνο PTS

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του ABC , που καλύπτει το PTS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7547
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:16 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm
Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου ABC , ώστε το τρίγωνο PTS

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του ABC , που καλύπτει το PTS .
Ομοιότητα και κάλυψη_Κατασκευή_ok_a.png
Ομοιότητα και κάλυψη_Κατασκευή_ok_a.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές
Ας είναι σταθερό το AB = 3k και AC = 3x\,\,,\,\,BC = 3m προφανώς : {k^2} = {m^2} - {x^2}\,\,\left( 1 \right).

Από το Π. Θ. στο \vartriangle AST και το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle PSC έχω και λόγω της \left( 1 \right):

\left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {k^2} + 4{x^2} = {m^2} + 3{x^2} \hfill \\ 
  P{S^2} = 4{m^2} + {x^2} - 2 \cdot 2mx\cos C \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  T{S^2} = {m^2} + 3{x^2} \hfill \\ 
  P{S^2} = 4{m^2} - 3{x^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Για να είναι \vartriangle ABC \approx \vartriangle PTS αρκεί:

\dfrac{{T{S^2}}}{{P{S^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} (γιατί με όμοιο συλλογισμό βρίσκω και το P{T^2} )

Δηλαδή : \dfrac{{{m^2} + 3{x^2}}}{{4{m^2} - 3{x^2}}} = \dfrac{{{m^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow 3{x^4} + 4{m^2}{x^2} - 4{m^4} = 0 απ’ όπου : \boxed{\frac{x}{m} = \frac{b}{a} = \sqrt {\frac{2}{3}} }.

β) Μετά απ’ αυτά BC = \sqrt 3 TS \Rightarrow \left( {ABC} \right) = 3\left( {PTS} \right).


Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:24 pm

Είναι \angle TAP=\angle TSP (από το εγγράψιμο ATPS)=\angle C(από τα όμοια ABC,PTS)
Έτσι \angle BAP=\angle C
Έτσι τα BAP και ABC είναι όμοια \Rightarrow AP\perp BC
Έτσι AP=\sqrt {BP\cdot PC}=\dfrac{a\sqrt 2}{3}
AP\perp BC,TP\perp PS\Rightarrow \angle TPA=\angle SPC έτσι τα ATP,CSP είναι όμοια \Rightarrow \dfrac{AT}{SC}=\dfrac{AP}{PC}\Leftrightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt 2}{2}\Leftrightarrow b=c\sqrt 2(1)
Από την ομοιότητα είναι PS=PT\cdot \sqrt 2
Έστω PT=x\Rightarrow (PTS)=\frac{1}{2}\cdot PT \cdot PT=\dfrac{x^2\sqrt 2}{2} (2)
Από ΠΘ στο PTS είναι TS=x\sqrt 3 (3)
Από ΠΘ στο ATS λόγω της (1) είναι TS=\sqrt{(c^2+4b^2)\frac{1}{9}}=c (4)
Από τις (3),(4) παίρνουμε x=\frac{c}{\sqrt 3}
Έτσι από τη (2) βρισκουμε ότι (PTS)=\dfrac{c^2\sqrt 2}{6}


M\alpha \nu \acute{\omega} \lambda \eta \varsigma
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4052
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Νοέμ 22, 2020 12:39 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm
Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου ABC , ώστε το τρίγωνο PTS

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του ABC , που καλύπτει το PTS .
Για τη σχέση των εμβαδών των δύο τριγώνων) (ανεξάρτητα ομοιότητας και ανεξάρτητα του είδους των τριγώνων να πω ότι έχουμε άμεσο αποτέλεσμα (για τις θέσεις των κορυφών του "εσωτερικού" τριγώνου ) από τον τύπο που αναφέρεται εδώ στην τελευταία δημοσίευση του Κώστα


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 24, 2020 11:29 am

Για το δεύτερο ερώτημα στη γενική του μορφή.
Κάλυψη...png
Κάλυψη...png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Αν \displaystyle \frac{{DB}}{{DC}} = l,\frac{{EC}}{{EA}} = m,\frac{{ZA}}{{ZB}} = n, τότε: \boxed{\frac{{(DEZ)}}{{(ABC)}} = \frac{{lmn + 1}}{{(l + 1)(m + 1)(n + 1)}}}

Στην περίπτωσή μας είναι l=m=n=2.

Την έχω προτείνει παλαιότερα στο :logo: αλλά δεν μπορώ να το βρω. Είναι από το βιβλίο Γεωμετρία του γιάννη ντάνη, στη σελίδα 291.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11900
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 24, 2020 12:30 pm

Υποθέτω Γιώργο ότι είναι ισοδύναμο αυτού , σελίδα 1 .

Ψάχνεις αυτό .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 24, 2020 1:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 24, 2020 12:30 pm
Υποθέτω Γιώργο ότι είναι ισοδύναμο αυτού , σελίδα 1 .

Ψάχνεις αυτό .
Ναι, Θανάση. Αυτό ακριβώς!


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1937
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ομοιότητα και κάλυψη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Νοέμ 25, 2020 7:32 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 8:49 pm
Ομοιότητα και κάλυψη.pngΒρείτε την σχέση μεταξύ των κάθετων πλευρών του τριγώνου ABC , ώστε το τρίγωνο PTS

να είναι όμοιό του . Υπολογίστε το μέρος της επιφάνειας του ABC , που καλύπτει το PTS .
Καλημέρα

Απο τα όμοια τρίγωνα

ABC,PTS,\dfrac{TP}{c}=\dfrac{TS}{a}=\dfrac{PS}{b}\Rightarrow 

TS^{2}=\dfrac{c^{2}+4b^{2}}{9}, TP^{2}=\dfrac{c^{2}(c^{2}+4b^{2})}{9a^{2}}, 

PS^{2}=\dfrac{b^{2}(c^{2}+4b^{2})}{9a^{2}},


Απο τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

EPS,ETA,\dfrac{PS}{TA}=\dfrac{ES}{ET}=\dfrac{EP}{EA}\Rightarrow 

b^{2}=2c^{2},(*) (ABC)=\dfrac{bc}{2},(PTS)=\dfrac{1}{2}PT.PS,


και λογω της (*),(ABC)=3(PTS)
Συνημμένα
Ομοιότητα και κάλυψη.png
Ομοιότητα και κάλυψη.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 60 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες